Tengo 2 lanzamientos de un dado, $X$ es el $\min$ y $Y$ es el $\max$

Question

Si dejamos que $X_1$ es el lanzamiento del primer dado, y $X_2$ sea el lanzamiento del segundo dado, y como se indica en el título, $X=\min(X_1,X_2)$ y $Y=\max(X_1,X_2)$ . Me piden que encuentre $E(Y|X=x)$ y sé que es $$\sum_{y=1}^6yP(Y=y|X=x)$$ Pero estoy un poco atascado en la parte de la probabilidad condicional. Sé que cuando $x=1$ el valor esperado es $\frac{41}{11}$ pero no entiendo cómo es eso. Sigo recibiendo $\frac{41}{36}$ porque

$$\begin{align}&\sum_{y=1}^6yP(Y=y|X=1)\\ &\qquad=1\left(\frac{1}{36}\right)+2\left(\frac{2}{36}\right)+3\left(\frac{2}{36}\right)+4\left(\frac{2}{36}\right)+5\left(\frac{2}{36}\right)+6\left(\frac{2}{36}\right)\\ &\qquad=\frac{41}{36}\end{align}$$

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Pista: Piense en el $6\times 6$ matriz con entradas $(i,j), 1 \leq i, j, \leq 6$ . El acontecimiento $\{X=1\}$ se compone del $11$ entradas de la fila superior y de la columna de la izquierda, y en estas $Y$ adquiere valores $1, 2, 3, 4, 5, 6$ ¿cuántas veces? y así se puede obtener el valor esperado a partir de ellas. Se tiene el $41$ ya, lo anterior explica por qué el denominador es $11$ no $36$ .

Answer 2

Fijar $x \in \{1,...,6\}$ . Los posibles pares ordenados son $(6,x),...,(x+1,x),(x,x),(x,x+1),...,(x,6)$ . Una rápida comprobación muestra que hay $13-2x$ pares, y la suma del máximo de todos los pares es $(x+7)(6-x)+x=42-x^2$ (añada la primera y la última, la segunda y la penúltima, hasta llegar a $(x+1,x)$ a continuación, añadir el resto $(x,x)$ ).

Por lo tanto $E(Y|X=x) = \frac{42-x^2}{13-2x}$ . Configuración $x=1$ da $E(Y|X=1) = \frac{41}{11}$