Número de divisores de la mayoría de los números

Question

En el libro A Comprehensive Course in Number Theory de Alan Baker. El autor menciona que aunque el orden medio de $\tau(n)$ es $\log n$ casi todos los números tienen alrededor de $(\log n)^{\log 2}$ divisores.

$\tau(n)$ =número de divisores de n.

Me preguntaba cómo se podría demostrar este resultado. Si alguien tiene alguna idea sería genial. Gracias.

Answer 1

Tenemos $$ \sum_{n\le x}\tau(n)\sim \sum_{n\le x}\log(n), $$ de modo que el valor medio de $\tau(n)$ es realmente $\log(n)$ pero por Hardy y Ramanujan sabemos, ya que $2^{\omega(n)}\le \tau(n)\le 2­^{\Omega(n)}$ que para la mayoría de los números $n$ , $$ \tau(n)=\log(n)^{\log(2)+o(1)}, $$ donde $\log (2)$ está cerca de $0.693$ . El valor normal de $\omega (n)$ resp. $\Omega(n)$ es $\log(\log(n))$ por Hardy y Ramanujan.