De referencia de la solicitud de un teorema en Lee sin problemas de Colectores

Question

En Lee el libro de Introducción a la Suave Colectores, él comenta en la página 25 que

Es un hecho (que vamos ni probar ni uso) que $F: U\rightarrow \mathbb R^k$ es suave en este sentido si y sólo si $F$ es continua, $F|_{U\cap \text{Int }\mathbb H^n}$ es suave, y las derivadas parciales de $F|_{U\cap \text{Int }\mathbb H^n}$ de todos los pedidos han continuo de las extensiones de todos los de $U$.

Esto sigue a una discusión de la definición de una función suave en un subconjunto arbitrario de $\mathbb R^n$. Una función de un conjunto se define a ser suave, si y sólo si se admite una extensión lisa para abrir una vecindad de cada punto. La comilla de las preocupaciones de las funciones definidas en el cerrado de la mitad superior del espacio (el subconjunto de $\mathbb R^n$$x_n \ge 0$).

Mi pregunta: ¿Dónde puedo encontrar una prueba de que el citado teorema?

Answer 1

Buena pregunta. Una dirección es inmediata; la otra dirección depende de un lexema de Émile Borel, lo que muestra que existe una función suave definido en la mitad inferior-espacio en el que los derivados de todas coinciden con los de $F$$U \smallsetminus \mathbb H^n$. Ver, por ejemplo, el Teorema 1.2.6 en El Análisis Lineal de Operadores Diferenciales Parciales I: Distribución de la Teoría y el Análisis de Fourier, 2ª ed., por Lars Hörmander. (Yo incluido esta referencia en la segunda edición de mi Suave Colectores de libro).