$3/7\leq {\frac {2-a}{3\,{a}^{3}+4}}+{\frac {2-b}{3\,{b}^{3}+4}}+{ \frac {2-c}{3\,{c}^{3}+4}} $

Question

Deje $a,b,c>0$ $abc\leq 1$ demostrar que:

$$3/7\leq {\frac {2}{3\,{a}^{3}+4}}+{\frac {2-b}{3\,{b,}^{3}+4}}+{ \frac {2-c}{3\,{c}^{3}+4}} $$

Yo estaba tratando separando $ (\sum \frac{2}{3a^3+4})-(\sum \frac{a}{3a^3+4})$

Ahora necesito encontrar el valor mínimo de $3a^3+4$. Yo que al AM-GM como $3a^3+3+1 \ge 3^{\frac{5}{3}}.a$. Pero que no está haciendo ningún bien. ¿Tienen mejores métodos?

Answer 1

No he encontrado una manera elegante de hacer esto, pero lo intentó con algo de fuerza bruta. Esta prueba se puede comprobar fácilmente con una calculadora. Pero la comprobación de que la mano parece ser demasiado pesado.

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Conjunto $$f(x)=\frac{2-x}{3x^3+4}$$ y $g(x)=f(e^x)$. Tenemos $$f'(x)=-\frac{(3x^3+4)+9x^2(2-x)}{(3x^3+4)^2}=\frac{6x^2(x-3)-4}{(3x^3+4)^2}$$ $$g''(x)=-\frac{2e^x(18e^{6x}-81e^{5x}-78e^{3x}+108e^{2x}+8)}{(3e^{3x}+4)^3}$$ No es difícil observar que el polinomio $P(x)=18x^6-81x^5-78x^3+108x^2+8$ tiene exactamente dos raíces reales $x_1\approx 0.901789,x_2\approx 4.64096$. Procedemos a la siguiente

Proposición 1. $f(x)$ es monótona decreciente en $[0,3]$, e $f(x)>-1/81$$x\ge 0$.

Prueba. Es fácil ver que $f'(x)$ tiene una única raíz en $x>0$, lo que llamamos $x_0$. Es obvio que $x_0>3$, y desde $(3x_0^3+4)+9x_0^2(2-x_0)=0$, tenemos $$f(x)\ge f(x_0)=\frac{2-x_0}{3x_0^3+4}=-\frac{1}{9x_0^2}>-\frac{1}{81}.$$

Corolario 1. Si $0<x\leq 1/6$, $y,z>0$, a continuación,$f(x)+f(y)+f(z)>3/7$.
Prueba. Por la Proposición 1 , tenemos $$f(x)+f(y)+f(z)-\frac 3 7\ge f(\frac 1 6)-\frac 1 {81}-\frac 1 {81}-\frac 3 7=\frac{571}{163863}>0.$$

Las siguientes dos proposiciones seguir a partir de la convexidad de $g(x)$.

Proposición 2. Para $x,y\in(0,x_1]$ hemos $$f(x)+f(y)\ge f(x_1)+f(\frac{xy}{x_1})$$ Proposición 3. Para $x,y\in[x_1,x_2]$ hemos $$f(x)+f(y)\ge 2f(\sqrt{xy})$$

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Ahora regrese al problema original, pretendemos que

La reclamación. Si $\max(a,b,c)>4.6$,$f(a)+f(b)+f(c)>3/7$.

Prueba. WLOG asumimos $a\le b\le c$. Si $c>4.6$$b\ge 6/4.6=30/23$,$a\le 1/bc<1/6$, por lo tanto estamos hecho por el Corolario 1. De lo contrario,$b<30/23$. Se consideran dos casos.
Caso 1. $b\ge x_1$. A continuación,$a\le 1/bc\le 1/(0.9\times 4.64)$. Por la Proposición 1 , tenemos $$f(a)+f(b)+f(c)>f(\frac 1{0.9\times 4.64})+f(\frac{30}{23})-\frac 1{81}>\frac 3 7+0.06>\frac 3 7.$$ Caso 2. $b<x_1$. A continuación,$a\le b<x_1$. Por la Proposición 2 tenemos $$f(a)+f(b)+f(c)\ge f(x_1)+f(\frac{ab}{x_1})+f(c)$$ Ahora es reducida a $b=x_1$, que ya ha sido resuelto en el Caso 1.

Esto concluye la prueba.

Ahora es suficiente con considerar el caso en que $\min(a,b,c)\le 4.6<x_2$, la cual puede ser dividida en cuatro subcases:

Caso 1. $a\le b\le x_1\le c<x_2$. Por la Proposición 2 tenemos $$f(a)+f(b)+f(c)\ge f(x_1)+f(\frac{ab}{x_1})+f(c)$$ Ahora es reducida a $b=x_1$, que se resolverá en el siguiente Caso 2.

Caso 2. $a\le x_1\le b\le c<x_2$. Aplicar la Proposición 1, 3 para reducir el problema de demostrar un polinomio desigualdad $2f(1/\sqrt{a})+f(a)\ge 3/7$ con la única variable $\sqrt{a}$. Esto es fácil de tratar. De hecho, es equivalente a
$$\frac{(x-1)^2(2x^2+3)(24x^5+27x^4-6x^3-21x^2+4x+2)}{7(4x^3+3)(3x^6+4)}\ge 0$$ donde $x=\sqrt{a}$.

Caso 3. $a\le b\le c<x_1$. En este caso,$f(a)+f(b)+f(c)>3f(1)=3/7$.

Caso 4. $x_1\le a\le b\le c<x_2$. Aplicar la Proposición 3 (o Jenson desigualdad directamente) para obtener el resultado.