¿Cuál es el trasfondo de este ejercicio?

Question

He encontrado este interesante ejercicio en un libro de cálculo (Stewart)

Vamos $$ u=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots $$ $$ v=x+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots $$ $$ w=\frac{x^2}{2!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots $$ Mostrar que $$u^3+v^3+w^3-3uvw=1$$ resulta ser una aplicación interesante de la 3ª raíz de la unidad, lo que simplifica en gran medida el (podría ser) tedioso cálculo. Me pregunto si tiene cualquier interpretación más profunda. (Al menos yo no veo cómo fácilmente generalizar). ¿Alguien puede explicar esto? (No necesito ayuda en la solución de este problema.)

Answer 1

El fondo es la transformada de Fourier discreta. El lado izquierdo de la identidad que escribió usted es el determinante de una circulantes de la matriz

$$\left[ \begin{array}{ccc} u & v & w \\\ w & u & v \\\ v & w & u \end{array} \right]$$

y la transformada de Fourier discreta le dice que sus autovalores son

$$u + v + w, u + \omega v + \omega^2 w, u + \omega^2 v + \omega w$$

donde $\omega$ es una primitiva de la tercera raíz de la unidad, y, por tanto, que el producto de estos es el factor determinante. Pero

$$u + \omega^k v + \omega^{2k} w = \exp (\omega^k x)$$

de modo que su producto es

$$\exp (x + \omega x + \omega^2 x) = \exp(0) = 1.$$

La generalización natural implica mayor circulantes matrices y $\exp (\zeta^k x)$ $\zeta$ una primitiva $n^{th}$ raíz de la unidad. Tenga en cuenta que cuando se $n = 2$ obtener el hiperbólico teorema de Pitágoras.

Answer 2

(Esto no es una generalización, pero esta es tal vez la más elemental forma de mirar el problema original.)

Buscando en las tres series, cada una es la derivada de la siguiente, el ciclismo alrededor de: $$ u = \frac{dv}{dx} \qquad v = \frac{dw}{dx} \qquad w = \frac{du}{dx} \qquad $$

Así que la diferenciación de la expresión dada se tiene:

$\displaystyle \frac{d}{dx} (u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw) $
$\displaystyle \qquad = 3u^2\frac{du}{dx} + 3v^2\frac{dv}{dx} + 3w^2\frac{dw}{dx} - 3(\frac{du}{dx}vw + \frac{dv}{dx}uw + \frac{dw}{dx}uv)$
$\displaystyle \qquad = 3u^2v + 3v^2w + 3uw^2 - 3(v^2w + uw^2 + u^2v)$
$\displaystyle \qquad = 0$

Por lo $u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw$ es constante con respecto a $x$ (ya que su derivada es siempre $0$), y la evaluación, en particular el valor de $x$ da su valor para todos los $x$. Ahora la elección de $x=0$, obtenemos $u = 1$, $v=w=0$, y por lo $u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw = 1$.