¿Es cero un número irracional?

Question

Considero al número cero como un número entero.

Ciertamente puede ser una proporción = $\frac{0}{x}, x \neq 0.$

Por lo tanto es racional.

Pero cualquier proporción que resulte en cero involucra cero, o es irracional, por ejemplo $\frac{x}{\infty}, x \neq 0$ no es una proporción de enteros.

¿Puede un número racional que es racional solo cuando el número mismo está involucrado seguir siendo racional?

Me doy cuenta de que "debería" ser racional pero no parece encajar en la misma categoría que otros números racionales. (¡Me alegra que mse tenga una categoría de preguntas suaves para preguntas como esta...).

Answer 1

Un número real $x$ es racional si y solo si puede escribirse como una fracción $a/b$ con $a$ y $b$ enteros y $b\neq 0$. En particular, los enteros son racionales, y $0$ es un entero, por lo que es racional.

Answer 2

Una perspectiva sobre esto es considerar $0$ como un símbolo que en realidad se refiere a varios objetos matemáticos diferentes:

• $0$-el-número-natural, generalmente el primer número natural definido. Escribamos $0_n$ específicamente para esto.
• $0$-el-entero; un entero es un número natural con un signo, y por lo tanto podemos escribir $0_i = +0_n$. De hecho, también es $-0_n$, pero eso no importa realmente.
• $0$-el-número-racional: un número racional es un entero dividido por otro, por lo que $0_r = 0_i/1_i$

Desde este punto de vista, no hay nada circular acerca de $0 = 0/1$, porque en realidad estamos usando el mismo símbolo para referirnos a dos objetos muy similares, uno un entero y otro un número racional.

Answer 3

Esa es una buena observación, la pregunta no es realmente si 0 es racional o no, sino si 0 es el único racional con infinitas representaciones que no pueden simplificarse.

Usa la definición alternativa de racionales: Racional puede ser representado por una representación decimal finita o repetitiva.

Usando esa definición no hay ambigüedad al tratar de encontrar dos números cuya razón sea 0. Pero de acuerdo con esa definición hay infinitos números cuya razón es 0, cuando solo necesitábamos 1. Así que es un racional con la propiedad de que puede ser expresado con infinitas razones diferentes (todos los demás racionales tienen solo una razón en sus términos más simples).

Answer 4

Como mencionaste $0$ es un número entero, y sabemos que los números enteros son un subconjunto de los números racionales. Entonces, ¿qué significa eso?

Answer 5

La división de dos cantidades irracionales obviamente puede tener resultados racionales. Por ejemplo, tanto π como 2π son irracionales; pero el resultado de su respectiva división es 2 o $\tfrac12$, ambos racionales. Y no solo la división, sino también otras operaciones. Veamos una simple adición, por ejemplo: tanto π + 1 como 1 - π son irracionales; sin embargo, su suma, 2, no lo es...

En caso de que no lo supieras, hay una razón por la cual no existe un símbolo específicamente para los irracionales, como en el caso de los números naturales $(\mathbb{N})$, enteros $(\mathbb{Z})$, racionales $(\mathbb{Q})$, reales $(\mathbb{R})$, complejos $(\mathbb{C})$, algebraicos $(\mathbb{A}), etc. Esto tiene que ver con el hecho de que -a diferencia de estos otros conjuntos numéricos- el conjunto de irracionales no es autocompleto cuando se mezcla con incluso las operaciones aritméticas más básicas, como la suma o la multiplicación, por ejemplo. Por ejemplo, a pesar de que tanto $\sqrt2$ y $\sqrt2$ son irracionales, su producto, 2, no lo es. La misma observación se aplica para $\sqrt3$ y $^1/_\sqrt3$, etc.