Dada una extraña $x$ hay un $m,n$ tal que $2^n + 1 = 3^m x$?

Question

Tengo curiosidad acerca de esta pregunta: ¿Es cierto que para cualquier número impar $x\in 2\mathbb N + 1$ existe números de $m,n\in \mathbb N \cup \{0\}$ tal que $$2^n+1 = 3^mx$$

Edit: no estoy tratando de hacer esto más complicado y tal vez hay somethng más fácil de lo que yo estoy pensando. Pero, si Pillai la conjetura es verdadera, entonces la respuesta debe ser negativa para la mayoría de las $x$.

Answer 1

$7$ es un número que no puede ser expresado como $(2^n+1)/3^m$. De lo contrario, $3^m\cdot7=2^n+1$ algunos $m,n$ enteros positivos. Por lo tanto $2^n+1=0 \mod 7$. Pero $2^n$ no tienen en $\mod 7$ de los valores distintos de $2,4,1$ $2^n+1$ puede tener sólo valores $2,3,5$, y ninguno de ellos se $0\mod 7$.

Answer 2

Aquí están algunas de las$\newcommand\leg[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)}\newcommand\ifs{\text{if }}\let\v\nu$ de los criterios. De cualquier manera, no creo que haya una simple caracterización de dichas $x$.

• Si $m>0$, $2^n+1$ a un múltiplo de $3$, $n$ debe ser impar. De $2^n+1\equiv0\pmod x$ tenemos $(2^{(n+1)/2})^2\equiv-2\pmod x$, lo $-2$ es un residuo cuadrático módulo $x$. Porque $$\leg{-2}p=\leg{-1}p\leg2p=\begin{cases}-1&\ifs p\equiv5,7\pmod8\\1&\ifs p\equiv1,3\pmod8\end{cases}$$ obtenemos que cada divisor primo de $x$ $\equiv1,3\pmod8$ . (Debido a que $3^2\equiv1\pmod8$ esto implica en particular que $x\equiv1,3\pmod8$.)
  Si $m=0$ simplemente tenemos $x=2^n+1$ como una condición necesaria y suficiente.
• Por Zsigmondy del teorema, si $n$ $\tau(n)$ divisores positivos, a continuación, $2^n+1$ tiene al menos $\tau(n)$ distintos primer divisores (a menos $n=3$). Esto nos permite concluir que, por ejemplo, $x$ no puede ser una potencia de $3$ (aunque usted puede probar este el uso más elemental métodos) a menos de $x=1,3,9$. También, si $x$ es dado, Zsigmondy da un límite superior en el número de primos divisores de $n$.

• Si $m>0$ el Levantamiento de La Exponente da la exacta exponente de $3$ en la factorización de $n$:

  Lema. (Levantando El Exponente, caso especial) Deje $p$ ser impar el primer y $a,b\in\mathbb Z$ tal que $p\mid a+b$ pero $p\nmid a$. Si $k$ es impar, entonces $\v_p(a^k+b^k)=\v_p(a+b)+\v_p(k)$ donde $\v_p(k)$ indica el exponente de la $p$ en el primer factorización de $k$.

  Así que si $m>0$, $n$ es extraño, por tanto $\v_p(n)=m-1$ por LTE. Combinado con Zsigmondy esto le da a algunos de los más interesantes de los resultados parciales, tales como: si $x=p^k$ es una fuente primaria de energía (con $p>3$ porque $p=3$ es imposible, ver arriba), a continuación, $n$ es primo. Si $n>3$, luego por LTE tenemos $m=1$, lo $2^n+1=3p^k$.

Answer 3

Para $x > 8$, $n \geq 3$, por lo $2^n + 1 = 1 \mod 8$.

$3^m = \begin{cases}3 \mod 8 & \text{ if } m \text{ odd} \\ 1 \mod 8 & \text{ if } m \text { even}\end{casos}$

Mirando la ecuación $\mod 8$, por lo tanto, debemos tener

$1 = 3x \mod 8$ o $1 = x \mod 8$

Por lo que cualquier solución debe tener $x = 1 \mod 8$ o $x = 3 \mod 8$, ya que la inversa de a$3 \mod 8$$3$. Así que no hay soluciones con $x > 8$ $x = 5 \mod 8$ o $x = 7 \mod 8$ .