¿Para qué sirven las funciones especiales?

Question

Si lees suficientes matemáticas, eventualmente te encuentras con varias de las llamadas "funciones especiales". Siempre me quedo preguntándome qué es lo que realmente son estas cosas en la Tierra para .

Tenemos la función Euler Gamma, la función Beta, la infame función Riemann zeta, las funciones Airy, la función Möbius, las funciones Bessel, las funciones Jacobi theta, las funciones digamma y poligamma, el polígrafo, los polinomios Chebyshev, las funciones elípticas de Weierstrass, la función Dedekind eta, las funciones hipergeométricas, etc, etc, etc.

Si intentas buscar cualquiera de estas funciones, generalmente obtienes una enorme página de fórmulas densas y complejas que cuentan las dieciséis maneras diferentes de definir la función, la miríada de propiedades e identidades que tiene, y así sucesivamente. Pero en ninguna parte menciona por qué esto es útil .

Casi he descubierto que la función de Euler Gamma extiende el factorial a valores no enteros. Todavía no sé cómo eso es "útil" de alguna manera. Bessel J de alguna manera aparece al azar en unos pocos contextos no relacionados, como lo hacen los polinomios de Chebyshev. Y eso es todo lo que tengo.

Obviamente, no espero que nadie dé una explicación exhaustiva de lo que hace cada función especial que se ha inventado. I Supongamos que que si no sabes lo que hace una función, eso significa que probablemente no la necesites todavía. Pero me gustaría tener una intuición básica de por qué se han definido todos estos millones de funciones, y para qué las utiliza la gente.

Answer 1

Para cada una de las funciones que mencionas, la respuesta a "por qué es útil" será algo diferente. En general, si una función aparece en muchos contextos no relacionados, es una señal segura de que es útil. Piensa en otras estructuras matemáticas que aparecen en muchos contextos no relacionados: los números naturales, los números reales, los números complejos, los polinomios, las funciones trigonométricas, etc.

Tengo entendido que, antiguamente, la segunda parte de un curso de análisis complejo -después de desarrollar la teoría- consistía en un estudio detallado de las funciones especiales. (Al menos, así era en los cursos para físicos). Parece que eso ya no es tan común.

Algunas observaciones sobre las funciones específicas que menciona:

Función gamma: Al igual que resultó muy conveniente permitir que el $x$ en $a^x$ tome valores que no sean números naturales, es conveniente permitir que el $n$ en $n!$ para hacerlo. Para dar un pequeño ejemplo de una ocurrencia de la función Gamma en la respuesta a una pregunta natural, el volumen de un $n$ -es una bola de dimensiones $$ V_n(r)=\frac{\pi^{n/2}r^n}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}. $$ Este ejemplo puede no ser del todo convincente, porque la función Gamma puede ser eliminada en favor de funciones más elementales, pero tiene la ventaja de proporcionar una fórmula uniforme para impar e incluso $n$ que las fórmulas más elementales no. Esto es sólo la punta del iceberg en cuanto a las apariciones de la función Gamma en las matemáticas y la física.

Funciones definidas para calcular integrales: Si el $\ln$ función no fuera ya conocida, habría sido necesario inventarla para llevar a cabo $\int\frac{1}{x}\,dx$ . La inversa de la $\ln$ habría conducido entonces a la función exponencial. Del mismo modo, si las funciones trigonométricas inversas, $\arctan$ , $\arcsin$ no fueran ya conocidas, habría sido necesario inventarlas para poder realizar integrales como $\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ , $\int\frac{1}{1+x^2}\,dx$ . Esto habría llevado a la creación de $\tan$ y $\sin$ .

En el caso de las funciones elípticas, esto es lo que realmente ocurrió. El cálculo de la longitud de arco de una elipse (que tiene interés en el estudio del movimiento planetario) conduce a una integral que no puede expresarse en términos de funciones elementales. Esto condujo a la definición de "integrales elípticas", cuyos inversos son funciones elípticas, con las que las funciones theta están estrechamente relacionadas.

Las funciones elípticas tienen la notable propiedad de la doble periodicidad. Es decir, son periódicas en dos direcciones en el plano complejo. Podemos imaginar la utilidad de esta propiedad en el estudio de las redes planas, por ejemplo. Pero, de forma más general, cada vez que tengamos una función cuyo dominio de definición sea el toro, veremos que las funciones elípticas entran en juego. Ciertas curvas algebraicas complejas de grado tres son topológicamente toros; las funciones elípticas pueden utilizarse para parametrizar posiciones en dichas curvas, de forma similar a $\sin$ y $\cos$ parametrizar las posiciones en el círculo.

Soluciones a ecuaciones diferenciales: Una de las primeras clases de ecuaciones diferenciales a las que se llega cuyas soluciones no pueden expresarse en términos de funciones elementales son las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden cuyos coeficientes son polinomios de bajo grado. De ahí las funciones de Airy, las funciones de Bessel, las funciones hipergeométricas, etc. Cuanto más sencilla sea la ecuación diferencial, más a menudo aparecerá. Las ecuaciones diferenciales que conducen a las funciones anteriores surgen repetidamente en la mecánica clásica, el electromagnetismo y la mecánica cuántica.

Polinomios ortogonales: Los principios del álgebra lineal pueden aplicarse al estudio de los espacios de funciones. Así como es útil escribir una base ortonormal para $\mathbf{R}^n$ es útil escribir una base para ciertos espacios de funciones. Dependiendo del dominio y las simetrías de las funciones de interés, entrarán en juego diferentes polinomios ortogonales. Al igual que las funciones periódicas pueden expandirse como series de Fourier en $\sin$ y $\cos$ Las series con otras simetrías pueden expandirse en términos de otros tipos de funciones. A menudo los coeficientes de los términos de menor orden en la expansión tienen un claro significado físico. Usted menciona los polinomios de Chebyshev. Otro ejemplo son los polinomios de Zernike, cuyo dominio de definición es el disco, del que un ejemplo es la pupila del ojo. En optometría, los coeficientes de algunos polinomios de bajo orden se relacionan con ciertos errores de refracción del ojo. En física y química, los armónicos esféricos se utilizan para describir los orbitales atómicos. Son útiles en muchos otros problemas con simetría esférica, incluida la mecánica celeste.

Answer 2

En muchos casos las identidades que surgen del análisis de las funciones especiales tienen interpretaciones en el contexto de combinatoria analítica o especies combinatorias -- el función de partición y el teorema del número pentagonal de Euler me vienen a la mente. También recomiendo consultar la obra de Herbert Wilf Generación de funcionalidades y la de Báez twf:190 . Como V.I. Arnold dice "...que en ella una misma función controla tanto las presentaciones de un número entero como suma de cuatro cuadrados como el movimiento real de un péndulo".

También puede ser útil consultar teoría analítica de los números , recientemente en m.se .

Creo que debería echar un vistazo a la Proyecto de Manuscritos Bateman que explica mejor el origen de cada uno de ellos que A&S o el DLMF.

Answer 3

Creo que la pregunta está formulada "de forma equivocada". O "equivocada" puede no ser la mejor caracterización. Se plantea desde la perspectiva de alguien que "viene de fuera" y se enfrenta a un conjunto de convenciones para el planteamiento de los problemas y formas concretas de resolverlos. Así que el "ousider" llega a preguntarse: "para qué sirven todas esas funciones especiales". Creo que hay que mirarlo desde el punto de vista "interno": ¿qué estamos haciendo? ¿Qué problemas de modelización de relaciones de procesos físicos o matemáticos formulamos, describimos y formalizamos matemáticamente? Por ejemplo, "¿cuál es la suma de los recíprocos al cuadrado? Pues bien, éste puede ser un problema que se plantea a menudo y que está en el centro de muchos problemas matemáticos de nuestro trabajo diario. Así que démosle un nombre, por ejemplo llamémosle función Zeta.
Evidentemente, hay funciones, que se dan casi en todas partes, como la potencia, la función raíz, luego la función exponencial, o el totiente. Esas relaciones, funciones, series, que se dan a menudo y que son sencillas, y que son básicas para la mayoría de nuestras operaciones (y pueden serlo: incluso de nuestro pensamiento, de nuestra modelización mental) pueden llamarse "funciones elementales". Y las funciones, que se necesitan en un contexto o profundidad menos general y sólo específica, y posiblemente necesitan mucha explicación, pueden llamarse entonces "funciones especiales" .

Así que puede ser comprensible, por qué me parece que suena extraño preguntar "¿para qué sirven las funciones especiales?", en lugar de "¿qué funciones llaman los matemáticos/matemáticas 'especiales' y cuáles llaman 'elementales'?"

Answer 4

La mayoría de estas funciones aparecen como soluciones a ecuaciones diferenciales que representan problemas de física e ingeniería. También se utilizan para construir series, como $\sin$ y $\cos$ se utilizan para las series de Fourier.

Answer 5

Hay un documento para el público en general publicado en el SCRIBD : "Safari en el país de las funciones especiales", pp.18-36 : http://www.scribd.com/JJacquelin/documents