La densidad de las funciones de prueba en el espacio de Sobolev en $\mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \}$

Question

La lectura de mi profesor de notas de la conferencia en espacios de Sobolev se me ocurrió la siguiente proposición: "$\mathcal{D}(\mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \})$ es denso en $W^{m,p}(\mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \})$ siempre $p \neq \infty$ $ mp \le n $ gracias a Sobolev-Morrey incrustaciones". Yo básicamente dos cuestiones: en primer lugar, no debería Morrey la incorporación de un espacio de Sobolev en $C(\mathbb{R}^n)$ requieren algo como $mp > n $ (que es exactamente lo contrario!)? Además, supongamos que tenemos la Morrey la incorporación de la $ W^{m,p}(\mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \}) $ a $C(\mathbb{R}^n \setminus \{ 0\})$, se debe tener por definición: $$ \text{cl}(\mathcal{D}(\mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \})) = W^{m,p}_0(\mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \}) $$
cuando el cierre se toma con respecto a la Sobolev topología del espacio. Si todo lo que es consistente entonces podemos concluir: $$ W^{m,p}_0(\mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \})=W^{m,p}(\mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \})$$ que suena un poco extraño para mí.

Ahora vamos a hablar acerca de las normas. Fix $n=1$ por la sencillez y supongamos que somos capaces de aproximar funciones en $W^{m,p}(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \})$ con las funciones de prueba admitidos en $\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$. Tome $u = H(x) \in W^{m,p}(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}) $ $(u_n)_n \subset \mathcal{D}(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \})$ tal que $ \| u_n - u \|_{m,p} \rightarrow 0 $. Claramente tales funciones de prueba debe desaparecer cerca del origen obligando a los derivados, y de ahí su $(m,p)$ normas, volar. Me estoy perdiendo algo? Gracias de antemano por cualquier comentario, sugerencia o explicación.

Answer 1

No creo que esto es cierto. Si $n=1$ $g\in W^{1,1}(\mathbb{R}\setminus{0})$ $g$ tiene un representante de $f$, lo que es absolutamente continua. Por el teorema fundamental del cálculo $$f(x)=f(y)+\int_y^xf'(t)\,dt.$$ Integrar sobre $(0,1]$ y se obtiene $$|f(x)|\le \int_0^1|f(y)|\,dy+\int_0^1|f'(t)|\,dt$$ para todos los $x\in (0,1]$. Por lo tanto, $$\sup_{x\in (0,1]}|f(x)|\le \int_0^1|f(y)|\,dy+\int_0^1|f'(t)|\,dt.$$ Si usted podría aproximar $g$ $W^{1,1}(\mathbb{R}\setminus{0})$ con una secuencia de funciones de $g_n$$C^\infty_c(\mathbb{R}\setminus{0})$, entonces reemplazando $f$ $f-g_n$ (lo cual es absolutamente continua) en la anterior desigualdad obtendría $$\sup_{x\in (0,1]}|f(x)-g_n(x)|\le \int_0^1|f(y)-g_n(y)|\,dy+\int_0^1|f'(t)-g_n'(t)|\,dt\a 0.$$ Por lo $g_n\to f$ uniformemente. Desde $f$ es absolutamente continua, tiene un límite de $\ell$$x\to 0$. Si este límite es $\ell\ne 0$, luego por la convergencia uniforme $|g_n(x)|\ge\frac{\ell}2$ todos los $x\in (0,\delta)$ algunos $\delta$ pequeña y todas las $n$ grandes. Actualización En el libro de Sarro hay un capítulo llamado prueba de que un punto es demasiado pequeño, donde se da la prueba de $H^1(\Omega)$$n\ge 2$. La prueba es demasiado tiempo para escribir aquí.