Hiperbólico Integral

Question

La integración de las siguientes:$$\int(\tanh x)^3 dx$$

Traté de resolverlo como una función tan y no funcionó para mí.

Podría usted por favor, caminar a través de mí el proceso?

Answer 1

$$\int\tanh^3 x dx =\int \dfrac{\sinh^3 x}{\cosh^3 x} dx =-\int \dfrac{\sinh x(1-\cosh^2 x)}{\cosh^3 x} dx.$$ Tome $u =\cosh x$. $$\int\tanh^3 x \, dx=-\int\frac{1-u^2}{u^3}du=\int\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^3}\right)du=\ln u+\frac{1}{2u^2}+c.$$ De nuevo sustituto para obtener la integral, $$\ln u+\frac{1}{2u^2}+c=\ln(\cosh x)+\frac{1}{2 \cosh^2 x}+c.$$