Deje $f:\mathbb{R^n}\to\mathbb{R^m}$ ser una función tal que la imagen de cualquier cerrada delimitada conjunto es cerrado y acotado, y la imagen de cualquier ruta de acceso conectado a establecer es el camino-conectado. Debe $f$ ser continua? Lo que si se sustituye la ruta "conectados" con "conectado"?
Respuesta
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23rd
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Por tanto "ruta de acceso conectados" y "conectados" de los casos, $f$ debe ser continua.
Por reducción al absurdo, supongamos que $f$ es discontinuo en algún momento $x\in\mathbb{R}^n$. desde $f$ mapas compacto de los conjuntos compactos de conjuntos, se puede encontrar una secuencia $\{x_k:k\ge 1\}\subset \mathbb{R}^n$$\lim_{k\to\infty}x_k=x$, de tal manera que la secuencia de $\{y_k:=f(x_k):k\ge 1\}\subset\mathbb{R}^m$, $y:=\lim_{k\to\infty}y_k$ existe y $y\ne f(x)$. Por la elección de una larga de $\{x_k\}$ si es necesario, sólo necesitamos considerar dos casos especiales: (i) $y_k=y$ por cada $k$; (ii) $y_k\ne y$ por cada $k$.
Para el caso (i), vamos a $L_k$ ser el segmento de la línea de unirse a $x_k$$x$, luego por cualquiera de las rutas "conectado" o "conectado" asunción, $f(L_k)$ está conectado y $\{y,f(x)\}\subset f(L_k)$. A continuación, para cada una de las $k$, podemos substituir $x_k$ con $x_k'\in L_k$, de tal manera que $y_k':=f(x_k')\ne y$ pero $\lim_{k\to\infty}y_k'=y$. Desde $\lim_{k\to\infty}x_k'=x$, se han reducido los casos (i) para el caso (ii).
Para el caso (ii), el conjunto $\{x_k:k\ge 1\}\cup\{x\}$ es compacto, pero su imagen en$f$$\{y_k:k\ge 1\}\cup\{f(x)\}$, que es noncompact, una contradicción.
