¿Cómo calcular esta superficie? (porción de un cilindro dentro de una esfera )

Question

La superficie de la parte del cilindro $x^2+y^2=8y$ situado en el interior de la esfera $x^2+y^2+z^2=64$

Estoy atascado, así que cualquier consejo será útil

Gracias de antemano.

Answer 1

$A = \iint dS$

$S: x^2 + y^2 = 8y$

Convertir a cilíndrico.

$x = r\cos\theta\\ y = r\sin\theta\\ z = z$

Introdúcelos en la ecuación del cilindro. $r = 8\sin\theta$

Y sustituir de nuevo por la parametrización de la superficie

$x = 8\sin\theta\cos\theta = 4\sin 2\theta\\ y = 8\sin^2\theta = 4 - 4\cos 2\theta\\ z = z$

$dS = $$ \|(\frac {\parcial x}{\parcial \theta}, \frac {\parcial y}{\parcial \theta},\frac {\parcial z}{\parcial \theta})\times (\frac {\parcial x}{\parcial z}, \frac {\parcial y}{\parcial z},\frac {\parcial z}{\parcial z})\||\\\\\| \|(8\cos2\theta, 8\sin2\theta, 0) \times (0,0,1)\| = \|(8\sin2\theta, -8\cos 2\theta, 0)\| = 8\ dz\ d\theta$

$\iint 8\ dz\ d\theta$

La esfera establecerá los límites de z.

$16\sin^2 2\theta + 16 -32\cos 2\theta + 16\cos^2 2\theta + z^2 = 64\\ z^2 = 32 + 32\cos 2\theta = 64\cos^2\theta$

$2\int_0^{\pi}\int_0^{8\cos\theta} 8 \ dz\ d\theta$