¿Hay una solución algebraica a este problema?

Question

La base de mi piscina filtro de cartucho del tanque se compone de un arco y una cuerda y tiene un perímetro total de 49,5 centímetros. La longitud de la cuerda se parte de la forma es de 7 pulgadas. El arco porción tiene una longitud de 42.5 pulgadas. Usando esta información, quise encontrar la longitud del radio del arco.

Yo no podía hacerlo de manera algebraica. Tuve que venir para arriba con una solución aproximada numéricamente. La ecuación que he formulado terminó siendo una ecuación trascendental. Al intentar resolver, me quedé atrapado cuando la ecuación fue más o menos equivalente a r=sin(r).

Hay una expresión algebraica solución a este problema? Si es así, me encantaría ver qué es y cómo llegó allí.

Answer 1

Estoy de acuerdo: cuando escribo las ecuaciones relevantes, encuentro que$r$ satisface $$ \ frac {3.5} r = \ sin \ frac {42.5} {2r}. $$ Tal ecuación no tiene solución elemental. Su solución aproximada es$7.918068\dots$, que por supuesto es mucho más precisa que cualquier medición que uno pueda hacer.

Answer 2

Todos estamos de acuerdo en el hecho de que la ecuación es trascendental. Pero, es bastante fácil de resolver.

A partir de lo que Greg Martin escribió, definamos $x=\frac{42.5}{2r}$ y, a continuación, escribir la ecuación $$\frac{14 }{85}x=\sin(x)$$ Now, replace the sine by this beautiful approximation proposed more than 1400 years ago by Bhaskara I (c. 600 – c. 680), a seventh-century Indian mathematician and astronomer $$\sin(x)\approx \frac{16x(\pi-x)}{5\pi^2-4x(\pi-x)}$$ Using it, we face now a quadratic equation $$28 x^2-(28 \pi -680) x+(35 \pi -680) \pi=0$$ the positive solution of which being $$x=\frac{1}{56} \left(28 \pi -680+\sqrt{462400+38080 \pi -3136 \pi ^2}\right)\approx 2.68416$$ from which $r\aprox 7.91683$.

No hay otro camino para acercarse a la solución, la construcción de un Pade approximant en $x=0$; una manera simple es $$\sin(x)=\frac{\frac{551 x^5}{166320}-\frac{53 x^3}{396}+x}{\frac{5 x^4}{11088}+\frac{13 x^2}{396}+1}$$ which will lead to a quadratic equation in $x^2$ $$\frac{9157 x^4}{33264}-\frac{4687 x^2}{396}+71=0$$ the solution of which being $$x=\sqrt{\frac{6 \left(32809-\sqrt{475694653}\right)}{9157}}\approx 2.68452$$ from which $r\aprox 7.91574$.

Utilizando en su lugar un $[7,7]$ Pade approximant para $\sin(x)$ construido en $x=0$ va a llevar a una ecuación cúbica en $x^2$ la solución de los cuales se $x\approx 2.68373$ a partir de que $r\approx 7.91807$, que es casi idéntica a la de Greg Martin es el resultado.