La ampliación de los modelos ZFC preserva los cardinales

Question

Dejemos que $M \subseteq N$ sean modelos de conjuntos ZFC transitivos contables. Supongamos que esta extensión preserva los cardinales, es decir, si $\alpha$ es un número ordinal (esta noción es absoluta) tal que $(\alpha \text{ is a cardinal})^M$ entonces también $(\alpha \text{ is a cardinal})^N$ . Obsérvese que la otra dirección se mantiene en cualquier caso.

Ahora pienso que para cada ordinal $\alpha$ tenemos $\aleph_\alpha^M = \aleph_\alpha^N$ . La prueba utiliza la inducción por $\alpha$ . El caso $\alpha=0$ se sigue ya que $\omega$ es absoluta. El paso siguiente utiliza la suposición. El paso límite utiliza esa $\sup$ es absoluta. ¿Puede alguien confirmar este esbozo de prueba?

Antecedentes: En la obra de Kunen Teoría de conjuntos parece que se utiliza en el contexto del forzamiento de Cohen. Me pregunto por qué no se menciona explícitamente.

Answer 1

Sí, se puede ver esto de una manera un poco más explícita:

Considere $\kappa$ que es un cardenal en $M$ y $N$ entonces $A_M=\{\beta<\kappa\mid M\models\omega\leq\beta,\beta\text{ is a cardinal}\}$ y $A_N$ definidos de forma similar, son los mismos por la hipótesis de inducción. Si los dos conjuntos son iguales, su tipo de orden es el mismo, y está claro que $\kappa=(\aleph_{\operatorname{otp}(A_X)})^X$ para $X\in\{M,N\}$ .