Sé cómo encontrar la distancia entre un punto y una línea, no entre dos líneas.
Encuentra la distancia más corta entre las líneas$(-1,1,4) + t(1,1,-1)$ y$(5,3,-3) + s(-2,0,1)$
Cualquier ayuda sería apreciada.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Jenny
Puntos
26
La distancia entre dos líneas en $ \Bbb R^3 $ es igual a la distancia entre los planos paralelos que contienen estas líneas.
Para encontrar la distancia en primer lugar, encontrar los vectores normales de los planos - es el producto cruz de los vectores direccionales de las líneas dadas. Para el vector normal de la forma (a, B, C) las ecuaciones que representan los planos son:
$
Ax + By + Cz + D_1 = 0
$
$
Ax + By + Cz + D_2 = 0
$
Tomar las coordenadas de un punto de la mentira en la primera línea y resolver para D1.
De igual manera para la segunda línea y D2.
La distancia que estamos buscando es: $$d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
Deje $x_1$ $y_1$ 2 puntos en la línea 1 y la línea 2, respectivamente. Formulario de la diferencia vectorial $d=x_1-y_1$. Tomar otro punto de $x_2$ en la línea 1. Forma el vector de dirección $x=x_1-x_2$. Proyecto $d$ en el vector de dirección $x$.
\begin{align} x_{parallel}= \frac{(d.x)}{||x||^2}x \end{align}
Ahora la norma de la siguiente vector (la distancia euclidiana desde el origen), le dará la necesaria distancia mínima.
\begin{align} x_{perp}= d-x_{parallel} \end{align}
(si no están en paralelo, esto no va a funcionar, sino que da la distancia más corta entre el punto de $x_1$ y en la línea 2.)
user287699
Puntos
1
la respuesta es un poco complicada, primero use el producto cruzado para encontrar n usando el vector de dos direcciones.$(d1*d2)$, | i, j, k 1,1, -1 -2,0,1 | =$i+j+2k$. luego deje que el punto$p$ y$s$ esté en la línea, respectivamente, encuentre el vector$ps. = (5,-3,-3)-(-1,1,4) = (6,2,-7)$ y luego encuentre la proyección de$ps$ en$n$ y encuentre la longitud del proyección. $(6,2,-7) \cdot \frac{(1,1,2)}{||1,1,2||^2}= 6^{1/2},$ o$2.44949.$
