La secuencia equi-continua de funciones acotadas en$0$ se limita uniformemente

Question

Pregunta: Supongamos $f_n : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ es un equi-secuencia continua de las funciones y supongamos $\lvert f_n(0) \lvert \leq 1$ todos los $n$. A continuación, $\{f_n\}$ es uniformemente acotada.

El trabajo hasta ahora: Dado $\varepsilon>0$, existe un $\delta > 0$ tal que para todos los $\lvert x \lvert <\delta$, tenemos: $$\lvert f_n(x) \lvert = \lvert f_n(x) - f_n(0) + f_n(0) \lvert \leq \lvert f_n(x) - f_n(0) \lvert + \lvert f_n(0) \lvert \leq \varepsilon + 1$$

Sin embargo, esto parece que podría potencialmente vinculado $\lvert f_n(x) \lvert$ sólo una pequeña porción de $[0,1]$, es decir,$x \in (-\delta,\delta)$.

Hay alguna manera de extender esto a una cubierta de abrir los intervalos en que $\lvert f_n(x) \lvert$ es acotado, por lo que podemos aprovechar de la compacidad de $[0,1]$?

En este momento estoy un poco perdido. Cualquier dirección sería muy apreciada.

Edit: La familia de funciones uniformemente equi-continua en $[0,1]$.

Answer 1

Sugerencia

Se puede alcanzar un punto$x \in [0,1]$ mediante una cadena de puntos que comienza en$0$ $$0 \le \delta \le 2\delta \le \dots \le n\delta \le x <(n+1) \delta$$ Moreover for all $x \ en [0,1]$, you can bound $n$ with $\ frac {1} {\ delta} +1$.

Nota: sugeriría que en lugar de decir "dado$\epsilon > 0$", recoja un$\epsilon$, como$1$,$\pi$ ... O lo que quiera como aquí solo necesita un$\epsilon$ para trabajar con.

Answer 2

Te quieren mostrar que un equicontinuous familia de funciones en un espacio compacto es uniformemente equicontinuous, es decir, que para todos los $\varepsilon > 0$, hay algunos $\delta$ tal que para todos los $n$ y $|x-y| \leq \delta$, $|f_n(x)-f_n(y)| < \varepsilon$, que es $\delta$ es independiente de $x$. La prueba debe ser similar para demostrar la continuidad uniforme de funciones continuas en espacios compactos.

De esta manera, usted puede mantener el $\delta$ el mismo largo de la cadena y a su inicial consolidado. Es decir, dada $\varepsilon > 0$, elija una correspondiente $\delta > 0$ y deje $n = \lceil \frac{1}{\delta} \rceil$. A continuación, para $x \in [0,1]$, $$|f(x)| \leq \sum_{k=1}^{n}|f(\tfrac{kx}{n})-f(\tfrac{(k-1)x}{n})| + |f(0)| \leq n\varepsilon + 1$$ and so the $f_n$ son uniformemente acotada.