Problema de optimización

Question

Un amigo mío vende $k$ modelos de licuadoras. Algunas de las licuadoras son muy sencillas y baratas, otras son muy sofisticados y más caros. Sus datos consiste en, para cada mes, de los precios de cada uno de blender (que son fijados por él), y el número de unidades vendidas de cada modelo. Para establecer una notación, él sabe por meses $j=1,\dots,n$ los vectores $$ (p_{1j},\dots,p_{kj}) \qquad \textrm{y} \qquad (n_{1j},\dots,n_{kj}) \, , $$ donde $p_{ij}$ es el precio de la licuadora modelo de $i$ durante todo el mes ( $j$ , e $n_{ij}$ es el número de unidades vendidas de la licuadora modelo de $i$ durante todo el mes ($j$.

La vista de los datos, él quiere para determinar los precios de $(p^*_1,\dots,p^*_k)$ que maximizar el valor de su futuro esperado de las ventas.

Tengo algunas ideas sobre cómo empezar a modelar este problema con algún tipo de regresión de Poisson, pero yo realmente no quiero reinventar la rueda. También sería bueno para demostrar que la máxima deseada existe bajo ciertas condiciones. Podría alguien por favor me dan punteros a la literatura de este tipo de problema?

Answer 1

Supongamos que existe una función de $f(\cdot)$, lo que lleva a los precios, $\vec{p}$, de todos los $k$ licuadoras y devuelve el número de ventas, $\vec{n}$. Entonces, el problema es:

$$ \underset{\vec{p}}{\arg\max}\;\; \vec{p}^T f(\vec{p}) $$

La solución a este problema dependerá de los supuestos que usted quiere hacer. Me gustaría ir con el modelo más simple que se me viene a la mente, primero. Vamos a suponer que el número de ventas de una licuadora depende de su precio y no en la de otros precios. Es decir, el número de ventas de cada blender es independiente. Esta suposición nos permite romper el vector de valores de la función $f(\cdot)$ a $k$ funciones escalares. Tenemos $f_i:p \mapsto n,\;\;i=1,\dots,12$, y el problema se convierte en:

$$ \underset{\vec{p}}{\arg\max} \sum_{i=1}^k p_i f_i(p_i) $$

Ahora tenemos que asumir un modelo para $f_i(\cdot)$. Podemos volver a intentar un simple (lineal) de la forma: $f_i(p) = \alpha_i p + \beta_i$. Para cada una licuadora, puede estimar los parámetros ($\alpha_i, \beta_i$) de esta función a través del histórico de datos de ventas. Una vez que, se estima, la optimización de la función de costo de arriba debe ser sencillo y te darán los mejores precios que usted está buscando.

Como usted ha mencionado en su mensaje, usted puede asumir un modelo de Poisson para $f(\cdot)$, demasiado.

Que la venta de mezcladoras son independientes uno de otro es, probablemente, un ingenuo (debido a que los clientes se verá en muchas licuadoras, compararlos y luego comprar uno). Así, me iría a por el vector de valores de $f(\cdot)$ y comenzar con modelos lineales. La optimización no debería ser demasiado difícil.