Derivación del principio de incertidumbre de Heisenberg - factor inexplicable de $4 \sigma_k^2$ en Gaussian

Question

Hice una transformada de Fourier de una función gaussiana $\scriptsize \mathcal{G}(k) = A \exp\left[-\frac{(k-k_0)^2}{2 {\sigma_k}^2}\right]$

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$$ \scriptsize \begin{split} \mathcal{F}(x) &= \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathcal{G}(k) e^{ikx} \, \textrm{d} k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} A \exp \left[-\frac{(k-k_0)^2}{2 {\sigma_k}^2}\right] e^{ikx}\, \textrm{d} k = A \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp \left[-\frac{(k-k_0)^2}{2 {\sigma_k}^2} \right] e^{ikx}\, \textrm{d} k =\\ &= A \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp \left[-\frac{m^2}{2 {\sigma_k}^2} \right] e^{i(m+k_0)x}\, \textrm{d} m = A \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp \left[-\frac{m^2}{2 {\sigma_k}^2} \right] e^{imx} e^{ik_0x}\, \textrm{d} m =\\ &= A e^{ik_0x} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp \left[-\frac{m^2}{2 {\sigma_k}^2} \right] e^{imx}\, \textrm{d} m = A e^{ik_0x} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp \left[-u^2 \right] e^{iu \sqrt{2} {\sigma_k} x} \sqrt{2} {\sigma_k} \textrm{d} u = \\ &=\sqrt{2} {\sigma_k} A e^{ik_0x} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp \left[-u^2 \right] e^{iu \sqrt{2} {\sigma_k} x}\, \mathrm{d} u = \sqrt{2} {\sigma_k} A e^{ik_0x} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp \left[-u^2 + i u \sqrt{2} {\sigma_k} x \right]\, \mathrm{d} u =\\ &= \sqrt{2} {\sigma_k} A e^{ik_0x} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp \left[-\left(u + \frac{i {\sigma_k} x}{\sqrt{2}} \right)^2 - \frac{i^2 {\sigma_k}^2 x^2 }{2}\right]\, \mathrm{d} u =\\ &= \sqrt{2} {\sigma_k} A e^{ik_0x} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp \left[-\left(u + \frac{i {\sigma_k} x}{\sqrt{2}} \right)^2 + \frac{{\sigma_k}^2 x^2 }{2}\right]\, \mathrm{d} u = \\ &= \sqrt{2} {\sigma_k} A e^{ik_0x} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2} \exp \left[ \frac{{{\sigma_k}}^2 x^2 }{2} \right]\, \mathrm{d} z = \sqrt{2} {\sigma_k} A e^{ik_0x} \exp \left[ \frac{{{\sigma_k}}^2 x^2 }{2} \right] \underbrace{\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2} \, \mathrm{d} z}_{\text{Gauss integral}}=\\ &= \sqrt{2} {\sigma_k} A e^{ik_0x} \exp \left[ \frac{{{\sigma_k}}^2 x^2 }{2} \right] \sqrt{\pi}\\ \mathcal{F} (x)&= \sqrt{2\pi} {\sigma_k} A e^{ik_0x} \exp \left[ \frac{{{\sigma_k}}^2 x^2 }{2} \right]\\ \end{split} $$

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Se puede ver que la transformada de Fourier es igual a $\scriptsize \mathcal{F} (x)= \sqrt{2\pi} {\sigma_k} A e^{ik_0x} \exp \left[ ({{\sigma_k}}^2 x^2) / 2\right]$ . Se dice en Wikipedia que el Gauss se normalizará sólo si $\scriptsize A=1 /(\sqrt{2 \pi} \sigma_k)$ . Utilicé esto y obtuve un resultado que se corresponde con un resultado en Wikipedia - Transformada de Fourier y función característica : $$ \mathcal{F} (x)= e^{ik_0x} e^{\frac{{{\sigma_k}}^2 x^2 }{2}}\\ $$ Si utilizo un Gauss centralizado cuyo valor medio es $k_0=0$ Me sale: $$ \mathcal{F} (x)= e^{\frac{{{\sigma_k}}^2 x^2 }{2}}\\ $$ Que se puede escribir como a: $$ \mathcal{F} (x)= e^{\frac{x^2 }{2 \left(1/\sigma_k \right)^2}}\\ $$

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Y puedo ver que $1/\sigma_k = \sigma_x$ PERO De esto se deduce que obtengo el principio de incertidumbre de Heisenberg así: $$ \begin{split} \sigma_k \sigma_x &= 1\\ \Delta k \Delta x &= 1\\ \Delta p / \hbar \, \Delta x &= 1\\ \Delta p \Delta x &= \hbar\\ \end{split} $$

Y este es un resultado erróneo porque debería obtener $\hbar/2$ en lugar de $\hbar$ .

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Pregunta: En nuestra universidad el profesor derivó esto de manera similar pero al principio en Gaussian usó $4{\sigma_k}^2$ en lugar de $2 {\sigma_k}^2$ . Esto contribuyó al resultado correcto $\hbar/2$ al final. Pero quiero saber por qué usamos el factor $4$ en lugar de $2$ ?

Answer 1

Es una larga serie de ecuaciones que hay que desentrañar, pero parece que estás tratando de igualar la desviación estándar de la función de onda en el espacio de posición con $\Delta x$ , lo cual no es correcto. $\Delta x$ se define por

$$(\Delta x)^2 = \langle \psi | X^2 | \psi \rangle - (\langle \psi | X|\psi \rangle)^2$$

Hay que utilizar esa forma para calcular la incertidumbre.

Por ejemplo, si su función de onda es $\psi(x) = A e^{-x^2/\sigma^2}$ entonces

$$(\Delta x)^2 = A^2 \int e^{-x^2/\sigma^2} x^2 e^{-x^2/\sigma^2}$$

Answer 2

Estás tratando esto como una distribución de probabilidad en lugar de una función de onda. En lugar de asumir $2 \sigma_k^2$ contra. $4 \sigma_k^2$ Sugiero establecer el denominador igual a alguna constante y luego encontrar las verdaderas varianzas tanto en el espacio de posición como en el de número de onda directamente, es decir, a través de la relación

$$\sigma_a^2 = \langle \psi | (\hat a - \bar a)^2 | \psi \rangle$$

para cualquier observable $\hat a$ con la expectativa $\langle \hat a \rangle = \bar a$ . Divida esto en dos integrales y vea lo que obtiene para $\hat a = \hat k$ y $\hat a = \hat x$ .