¿Es$0$ el único vector en el núcleo de cada función lineal acotada?

Question

Deje $X$ es una normativa espacio vectorial, y deje $x_0\in X$ tienen la propiedad de que para cada delimitada lineal funcional $f:X\rightarrow K$, $f(x_0)=0$. Entonces no $x_0=0$?

Creo que la respuesta es claramente sí, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. ¿Cómo se puede construir un almacén lineal funcional que es distinto de cero en un determinado vector distinto de cero?

Answer 1

Tome un subespacio $L=span\{x\}$ y luego defina $f:L\to K$ por $f(\lambda x)=\lambda$ . Esto es claramente una función lineal acotada tal que $f(x)\ne 0$ . Por el teorema de Hahn-Banach, puede extenderlo a una función lineal acotada en $X$ .

Answer 2

Utilice Hahn Banach para extender cualquier función lineal distinta de cero definida en el espacio vectorial generado por $x_0$ a $X$ .