Arreglar $0\leq\delta\leq1.$ Bob tira un dado repetidamente con la esperanza de sacar un seis.

Question

Fijar un parámetro $0\leq\delta\leq1.$ Bob tira un dado repetidamente con la esperanza de sacar un seis. Sin embargo, después de cada fracaso en sacar un seis, se da por vencido con la probabilidad $1-\delta$ y decide volver a intentarlo con probabilidad $\delta$ . ¿Cuál es la probabilidad de que Bob nunca saque un seis?

Dejemos que $A$ denota el caso de que Bob no saque un seis, y deja que $B$ ser el caso de que abandone tras un fracaso. Entonces, $P(A\cap B)=1-\delta$ y $P(A\cap B^{C})=\delta.$ Ahora, después de la primera tirada, la probabilidad de que Bob no saque un seis es $5/6$ .

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Tengo dificultades para entender cómo el parámetro $\delta$ entra en el cálculo de la probabilidad de que Bob no obtenga un seis dado que ha fallado y lo ha vuelto a intentar.

¿Podría dar una pista, no soluciones por favor, sólo una pista sobre cómo empezar a pensar en este tipo de problema.

Gracias por el tiempo, aprecio cualquier comentario.

Answer 1

CONSEJO : Deja que $K$ denota la variable aleatoria que toma valores enteros, que denota en qué turno Bob dejará de tirar si aún no ha obtenido un seis. Para nosotros, se trata de una variable aleatoria geométrica con parámetro $\delta$ . (Para $\delta = 0,1$ podemos resolver el problema obviamente, así que supongamos $0<\delta<1$ )

Con este $K=k$ arreglado, hemos fijado el turno en el que Bob abandonará si no saca un seis para entonces. Condicionado a esto, encuentre la probabilidad de que Bob no saque un seis. Por supuesto, esto es igual a la probabilidad de que no saque un seis en $k$ vueltas.

Ahora, volvamos a la distribución de $K$ que depende de $\delta$ para obtener la probabilidad deseada.

En los símbolos, si $A$ denota el caso de que Bob abandone antes de obtener un seis, entonces $P(A) = \sum_{k} P(K=k) P(A | K=k)$ .

Answer 2

Pista: Trabaja de forma recursiva. Sea $p$ denotan la probabilidad de que Bob lance finalmente un $6$ . Entonces considera el primer lanzamiento. O bien consigue el $6$ en cuyo caso se detiene, o no lo hace y abandona, o no lo hace pero lo vuelve a intentar (en cuyo caso la probabilidad de éxito es $p$ de nuevo). Escribe esto algebraicamente y resuelve para $p$ .