El objeto básico del análisis funcional es el espacio vectorial topológico, por lo que los espacios vectoriales con alguna topología, podemos agregar estructura adicional mediante la introducción de métricas, etc., pero el objeto subyacente es un espacio lineal de todos modos.
Me preguntaba si hay algún campo de la matemática que aún estudia los funcionales, pero definido en múltiples en lugar de espacios vectoriales.
Estoy escribiendo aquí porque el comentario no apropiado para este fin. Esto es sólo una parte del pensamiento.
Vamos, $(M,g)$ ser una de Riemann colector de dimensión $n$, con una métrica de Riemann $g$. Para cualquier coordinar gráfico de $(U,\varphi)$ y un funcional $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, podemos definir un mapa de $g:M\to \mathbb{R}$ por $g(p)=f\circ\varphi(p)=f(\varphi(p))$ para todos los $p\in M$.
El único problema para $g$ a ser lineal depende del hecho de que si $\varphi$ es lineal o no.
Mi pregunta es ¿podemos definir un Colector con suave estructura lineal $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in\Lambda}$?
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