Ejercicio en la desigualdad de Holder.

Question

El siguiente es un problema de Royden y Fitzpatrick del Análisis Real del libro.

Encontrar los valores del parámetro $\lambda$ para los que $$\lim\limits_{\epsilon\rightarrow0^{+}} \frac{1}{\epsilon^\lambda}\int_0^\epsilon f(x)dx = 0 \;\;\; \forall f \in L^p[0,1]$$

Por parte del Titular de la desigualdad,

$$\frac{1}{\epsilon^\lambda}\int_0^{\epsilon}f(x)dx \leq \frac{1}{\epsilon^\lambda}||f||_p\epsilon^{1-1/p} = ||f||_p\epsilon^{1-1/p-\lambda}$$

Así que si $\lambda < 1-1/p$, el límite se mantiene. Para el caso, $\lambda > 1-1/p$ podemos considerar el siguiente contraejemplo, $f(x) = \lambda x^{\lambda-1}$. Es sencillo ver que $f \in L^p[0,1]$, pero, $$\frac{1}{\epsilon^\lambda}\int_0^\epsilon \lambda x^{\lambda-1}dx = 1$$

El caso que yo estoy teniendo dificultad con el límite de uno, $\lambda = 1 - \frac{1}{p}$. Obviamente Titular no va a funcionar aquí. El de arriba contraejemplo no funciona aquí.

Si el límite en este caso? Si no, alguien puede proporcionar un contraejemplo?

Answer 1

La desigualdad de Holder también da el límite $\|fI_{(0,\epsilon)}\|_p \epsilon^{1-1/p-\lambda}$, por lo que el límite es cero si $\lambda =1-\frac 1 p$ .