Entender por qué funciona una prueba de límite usando otro límite

Question

Lo siento por el título, ojalá me lo pueda explicar mejor. Creo que el título es tan bueno como podría conseguir en términos de la descripción.

Tengo un problema:

Deje $x_n \ge 0$ para todos los $ N \in \mathbb{N}$

Si $(x_n) \to x$, muestran que $(\sqrt{x_n}) \to \sqrt(x)$

Supongamos que ya hemos demostrado que el límite va a cero.

Mi prueba fue el siguiente:

Nuestro objetivo es encontrar una $N$ que satisface la desigualdad:

$|\sqrt{x_n|} - \sqrt{x}| \lt \epsilon$

con epsilon ser arbitrario.

Así:

$|\sqrt{x_n|} - \sqrt{x}| \lt \epsilon$

$|\sqrt{x_n|}| \lt \epsilon + \sqrt{x}$

$|\sqrt{x_n|}|^2 \lt (\epsilon + \sqrt{x})^2$

$|x_n| \lt (\epsilon + \sqrt{x})^2$

$|x_n| \lt \epsilon^2 + 2 \epsilon \sqrt{x} + x$

$|x_n - x| \lt \epsilon^2 + 2 \epsilon \sqrt{x}$

Ya que sabemos $|x_n - x|$ puede hacerse arbitrariamente pequeña estamos listos para proceder.

A continuación, permitir $\epsilon > 0$ arbitrarias, y elegir un $N \in \mathbb{N}$ la satisfacción de:

$|x_n - x| \lt \epsilon^2 + 2 \epsilon \sqrt{x}$

Para $n \ge N$ nos encontramos después de algunos álgebra (para salvar a escribir la anterior hacia atrás)

$|\sqrt{x_n|} - \sqrt{x}| \lt \epsilon$

Lo que muestra que, dado el límite, podemos elegir un $N$ cualquier $\epsilon$ y encontrar que todos los $n \ge N$ estará dentro de la $\epsilon$-barrio de $\sqrt{x}$.

Donde estoy confundido es como yo estoy usando el límite de $(x_n) \to x$. Soy una clase de seguir una plantilla de aquí del autor. La adición de este límite ha confundido a mí.

¿Cómo reducir la desigualdad $|\sqrt{x_n|} - \sqrt{x}| \lt \epsilon$ a $|x_n - x| \lt \epsilon^2 + 2 \epsilon \sqrt{x}$ y, a continuación, sabiendo que "nos puede hacer arbitrariamente pequeño" nos ayudan a demostrar que el límite dado? ¿Qué es la intuición?

Answer 1

Está utilizando el hecho de que $x_n \rightarrow x$ en el primer paso: así es como sabe que puede hacer que $|x_n - x|$ sea arbitrariamente pequeño. Y necesita poder hacer esa diferencia arbitrariamente pequeña para que el resto de la prueba funcione.

Answer 2

Quiero subrayar un punto de Ovi en sus comentarios que te pueden llevar a grandes problemas en muchos otros casos, cuando se trabaja con las desigualdades.

Su argumento comienza con (me estoy quitando un par de superfluos "|"):

$|\sqrt{x_n} - \sqrt{x}| \lt \epsilon$

$|\sqrt{x_n}| \lt \epsilon + \sqrt{x}$

Este correcta en el sentido de

$$|\sqrt{x_n} - \sqrt{x}| \lt \epsilon \Rightarrow |\sqrt{x_n}| \lt \epsilon + \sqrt{x}$$

Sin embargo, eso no implica que usted desea, porque usted está trabajando hacia atrás: La parte $|\sqrt{x_n} - \sqrt{x}| \lt \epsilon$ es lo que quieres demostrar en la final, y que están buscando la manera de llegar allí.

Esto significa que lo que se desea es una implicación de la especie

$$ ???\Rightarrow |\sqrt{x_n} - \sqrt{x}| \lt \epsilon.$$

La cosa importante a tener en cuenta es que si usted sustituye $|\sqrt{x_n}| \lt \epsilon + \sqrt{x}$ para el "???" parte, se puede conseguir algo que es totalmente falso:

$$|\sqrt{x_n}| \lt \epsilon + \sqrt{x} \Rightarrow |\sqrt{x_n} - \sqrt{x}| \lt \epsilon $$

Con "totalmente falso", me refiero a que usted puede encontrar los valores de $x_n$ e $x$ que cumplir con la asunción de la implicación, pero la diferencia de $|\sqrt{x_n} - \sqrt{x}|$ es no sólo un poco más grande que la de $\epsilon$, pero inmensamente más grande:

Set $x_n=0$, $x=1,000,000$ y por supuesto tenemos que la hipótesis se ha cumplido, sino $|\sqrt{x_n} - \sqrt{x}|$ no es menor que $\epsilon$, pero $1,000$.

Cuando se trabaja hacia atrás con las desigualdades, siempre use extremo cuidado para utilizar sólo las transformaciones que son el equivalente de las desigualdades (como la multiplicación con un valor positivo en ambos lados), o hacer los pasos de la forma "Si yo pudiera probar esto, lo que quiero demostrar en la final iba a seguir".

Answer 3

Si $x=0$ , la prueba es trivial.

Si $x\neq 0$ , $|\sqrt{x_n}-\sqrt{x}|=\frac{|x_n-x|}{|\sqrt{x_n}+\sqrt{x}|}$ .

Luego podemos encontrar un $N$ , st $|\sqrt{x_n}+\sqrt{x}|>a>0$ cuando $n>N$ , donde $a$ es una constante.

$|\sqrt{x_n}-\sqrt{x}|<\frac{|x_n-x|}{a}\rightarrow0$ .