Modificación de probabilidad en el índice de Hastings de Metropolis para el parámetro transformado

Question

Quiero usar MH para obtener muestras de $p(\theta \mid y) \approx p(y \mid \theta) p(\theta)$. Supongamos $\theta$ está muy limitado y me transformar $\theta$ a $f(\theta)$ así que pueden tomar muestras de un sin restricciones de espacio.

El nuevo posterior se convierte en $p(f(\theta) \mid y) \approx p(y \mid f(\theta) ) \ p(f(\theta)) \,\times\, |\det(J_{f^{-1}}(y)) |$. Tenga en cuenta que sólo he cambiado el antes de término (Pushforward medida) y a la izquierda la probabilidad de plazo sin cambios, ya que es una distribución de probabilidad en $y$, no en $\theta$.

(1) Mi pregunta es: puedo - en el Metropolis Hastings aceptación de la relación de evaluar

$$\frac{p(y \mid \theta^\star) }{ p(y \mid \theta) } \,\times\, \frac{p(f(\theta^\star)) \mid \det{ J_{f^{-1}}( \theta^\star)} \mid }{ p(f(\theta)) \mid \det{ J_{f^{-1}}( \theta )} \mid }$$

? Este término me pone nervioso, porque me transformó theta, evaluar el pdf de la transformación de los anteriores, pero luego transformarla y evaluar la probabilidad de que el parámetro en el espacio original. Sin embargo, no puedo evaluar el primer término de esta ecuación:

$$\frac{p(y \mid f(\theta^\star)) }{ p(y \mid f(\theta)) } \,\times\, \frac{p(f(\theta^\star)) \left\lvert \det{ J_{f^{-1}}( \theta^\star)} \right\rvert }{ p(f(\theta)) \left\lvert \det{ J_{f^{-1}}( \theta )} \right\rvert }.$$

De alguna manera podría realizar ingeniería inversa de este problema, es decir, definir prioridades en $f(\theta)$ y, a continuación, asigne $f(\theta)$ a $\theta$. El Jacobiano de la transformación inversa, a continuación, se convierte en el Jacobiano de la transformación de mi problema original. De esa manera, yo podría evaluar todos los términos. Sin embargo, originalmente quería darle algo de sentido a mi priores de $\theta$, no para algunos sin restricciones de la $f(\theta)$.

EDIT: Problema solucionado y aclarado - gracias, me debe haber visto a este mismo! Por favor vea también vinculado stackexchange hilo de este post para más aclaración.

Answer 1

Usted debe notar que lo que denotan $p(y|f(\theta))$ es de hecho la misma $p(y|\theta)$ [si pasar por alto la terrible abuso de notaciones]. Como usted menciona, el cambio de la parametrización no modificar la densidad de la variable aleatoria en el valor observado $y$ y no hay Jacobiana asociada con esa parte.

Con la debida anotación, si $$\begin{align*} \theta &\sim \pi(\theta)\qquad\qquad&\text{prior}\\ y|\theta &\sim f(y|\theta)\qquad\qquad&\text{sampling}\\ \xi &= h(\theta) \qquad\qquad&\text{reparameterisation}\\ \dfrac{\text{d}\theta}{\text{d}\xi}(\xi) &= J(\xi)\qquad\qquad&\text{Jacobian}\\ y|\xi &\sim g(y|\xi)\qquad\qquad&\text{reparameterised density}\\ \xi^{(t+1)}|\xi^{(t)} &\sim q(\xi^{(t+1)}|\xi^{(t)}) \qquad\qquad&\text{proposal} \end{align*}$$ el Metropolis-Hastings relación de asociados con la propuesta de $\xi'\sim q(\xi'|\xi)$ en la $\xi$ parametrización es $$\underbrace{\dfrac{\pi(\theta(\xi'))J(\xi')}{\pi(\theta(\xi))J(\xi)}}_\text{relación de los priores}\times \underbrace{\dfrac{f(y|\theta(\xi')}{f(y|\theta(\xi))}}_\text{cociente de probabilidad}\times \underbrace{\dfrac{p(\xi|\xi')}{q(\xi'|\xi)}}_\text{propuesta proporción}$$ que también se escribe como $$\dfrac{\pi(h^{-1}(\xi'))J(\xi')}{\pi(h^{-1}(\xi))J(\xi)}\times \dfrac{g(y|\xi')}{g(y|\xi)}\times \dfrac{p(\xi|xi')}{q(\xi'|xi)}$$