Y

Question

$f \in C^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ tal que $f(x)/x \to l \in \mathbb{R}$ como $x \to + \infty$, y de tal manera que $f''(x) = O(1/x)$ a $+\infty$. Encontrar : $$\lim_{x \to +\infty} f'(x)$$

Algunas ideas :

A mí me parece que el límite es de $l$, pero soy incapaz de demostrarlo. Por otra parte parece que tenemos $f''(x) = o(1/x)$.

Creo que tengo alguna manera de relacionar los derivados unos de otros, tal vez mediante la expansión de la serie de $f$, pero no parece funcionar.

Gracias!

Answer 1

En primer lugar, no es necesariamente cierto que $f''(x)=o(\frac1x)$. Por ejemplo, podríamos tomar a $f''(\frac1x)=\frac{\sin x}{x}$ e integrar dos veces. Tenemos que (si $f'(x)=0$) $f'(x)\to \frac{\pi}{2}$ como $x\to\infty$, e $\frac{f(x)}{x}\to \frac{\pi}{2}$ así por la regla de L'Hospital.

En esa nota, de L'Hospital de la regla dice que si $\lim_{x\to\infty} f'(x)$ existe, es igual a $l$. La pregunta es si debe existir siempre. He intentado algunas cosas con oscilante para funciones de $\ln x$; mientras que no era demasiado duro para hacer que el límite de $f'$ divergen, que también causó el límite de $f$ a divergir - y que inspiró la siguiente táctica.

WLOG, vamos a $l=0$; podemos restar $lx$ de $f$, sin afectar a cualquiera de las si $f'$ converge o si $xf''(x)$ está acotada. Para cualquier $\epsilon>0$, hay algunos $M$ tal que $|f(x)|\le \frac{\epsilon^2}{\epsilon+2} x$ para $x>M$. Entonces, por el Valor medio Teorema, para cualquier $x>M$, hay algunos $t\in (x,(1+\epsilon)x)$ tales que $$|f'(t)|=\left|\frac{f(x+\epsilon x)-f(x)}{\epsilon x}\right| \le \frac{\frac{\epsilon^2}{\epsilon+2}(\epsilon+2)x}{\epsilon x}=\epsilon$$ Ahora que tenemos un valor de $f'$ en ese intervalo, ¿qué tan grande puede ser? También tenemos la hipótesis de que la $f''(x)=O(x^{-1})$ como $x\to\infty$; deje $f''(x)\le \frac Ax$ para $x\ge 1$. Deje $g(y)=f'(e^y)$. A continuación, $g'(y)=e^yf''(e^y)\le A$ para todos los $y\ge 0$. También, para cualquier $y\ge \max(0,\ln M)$, hay algunos $s\in (y,y+\ln(1+\epsilon))$ tal que $|g(s)|\le \epsilon$. Para un par de $s$ e $y$, luego tenemos $$|g(z)|\le |g(s)|+A|z-s|\le \epsilon+A\ln(1+\epsilon)<(1+A)\epsilon$$ para cualquier $z\in (y,y+\ln(1+\epsilon))$. Desde $y$ fue arbitraria, cada $z\ge \max(0,\ln M)$ es en ese intervalo, y $$(1+A)\epsilon > |g(\ln x)|=|f'(x)|\text{ for all }x\ge\max(1,M)$$ Mirando hacia atrás, hay un $M$ cualquier $\epsilon$, y tenemos que $\lim_{x\to\infty} f'(x)=0$. Hemos probado la deseada convergencia.

Por supuesto, si a esto le sumamos $lx$ nuevo en a $f$, el límite de $f'$ hace $l$ , en lugar de cero.

Answer 2

Claramente, si $\lim_{x \to +\infty} f'(x)$ existe

$$l =\lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} f'(x),$$

desde L'Hospital de la norma puede ser aplicada sólo cuando el denominador tiende a $\infty$ como se discute aquí en Caso de 2.

Supongamos, primero, que el $f''(x) = o(1/x)$.

Por Taylor teorema,

$$f(2x) - f(x) = f'(x)x + \frac{1}{2} f''(\xi_x)x^2,$$

donde $x < \xi_x < 2x$ y de ello se sigue que

$$\lim_{x \to +\infty}f'(x) = \lim_{x \to +\infty}\left( 2 \frac{f(2x)}{2x}- \frac{f(x)}{x} - \frac{xf''(\xi_x)}{2} \right) \\ = 2l - l - \frac{1}{2}\lim_{x \to +\infty} x f''(\xi_x)$$

Tenga en cuenta que $x/\xi_x $ es acotada entre $1/2$ e $1$ para todos los $x$, por lo que

$$|xf''(\xi_x)| = \frac{x}{\xi_x}|\xi_xf''(\xi_x)| \leqslant |\xi_x f''(\xi_x)| $$

Desde $\xi_x \to +\infty$ fib $x \to +\infty$, entonces si $f''(x) = o(1/x)$, y, por lo tanto, $\xi_x f''(\xi_x) \to 0$, tenemos

$$\lim_{x \to +\infty} xf''(\xi_x) = 0,$$

y $f'(x) \to l$ como $x \to +\infty$.