Suma de tres variables aleatorias independientes

Question

Que $X$, $Y$ y $Z$ sean variables distribuidas de manera independiente e idéntica, cada una uniformemente distribuida entre $0$ y $2$. ¿Cuál es la probabilidad de que $X+Y+Z\leq2$?

Todas las demás respuestas en preguntas similares se refieren a varias cosas como "convoluciones" que nunca he escuchado o utilizan integrales y cambian los límites de $[-\infty,+\infty]$ a otras cosas, etc. así que estoy muy confundido y no entiendo nada. En particular, pensé que podríamos simplemente calcular $P(X+Y\leq2-Z)=\frac{1}{8}(2-Z)^2$ y luego hacer $\int_{0}^{2}\frac{1}{8}(2-Z)^2 \text{d}Z$, y no entiendo por qué esto no da la respuesta correcta de $\frac{1}{6}$. ¿Podría alguien tomarse el tiempo para escribir todos los pasos con una explicación completa para alguien que solo tiene conocimientos básicos de probabilidad?

Answer 1

La suma de un número dado de variables uniformes i.i.d. continuas, en el intervalo de soporte $[0,1]$, sigue la distribución Irwin-Hall.

Dado que estás considerando variables en el intervalo $[0,2]$, simplemente es cuestión de reescalar.

Answer 2

Idea:

1. $X \sim {\rm Unif}([0,2])$
2. En el evento requerido, $0 \le Y \le 2 - X$.
3. Determine el valor de $Z$ de manera similar: $0 \le Z \le 2 - X - Y$.

$$\begin{aligned} & P(X+Y+Z \le 2) \\ &= \int_0^2 \int_0^{2-x} \int_0^{2-x-y} \left(\frac12\right)^3 \ dz \, dy \, dx \\ &= \left(\frac12\right)^3\int_0^2 \int_0^{2-x} (2-x-y) \, dy \, dx \\ &= \left(\frac12\right)^3\int_0^2 \int_0^{2-x} y \, dy \, dx \quad (\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx) \\ &= \left(\frac12\right)^3\int_0^2 \frac{(2-x)^2}{2} \, dx \\ &= \dots \text{(mismo truco)} \\ &= \left(\frac12\right)^3 \cdot \frac{2^3}{3!} = \frac16 \end{aligned}$$

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Edit en respuesta al comentario del OP:

Considera $S = \{ (x,y,z) \in \Bbb{R}_+^3 \mid x + y + z \le 2\}$ y $S' = \{ (x,y,z) \in \Bbb{R}_+^3 \mid x \in [0,2], y \in [0,2-x], z \in [0,2-x-y]\}$. Es suficiente mostrar que $S = S'$. $S' \subseteq S$ es claro, y se deja como ejercicio. Para terminar el argumento, sea $(x,y,z) \in S$. Luego verifica los criterios que definen $S'$ componente por componente.

• $x \in [0,2]$ es claro
• $y \in [0,2-x-z] \subseteq [0,2-x]$ es un poco complicado
• $z \in [0,2-x-y]$ es claro

Por lo tanto, los límites superior e inferior de la integral iterada anterior están justificados.

Answer 3

Para aquellos que prefieren una prueba geométrica:

Los puntos aleatorios están uniformemente distribuidos en el espacio $X,Y,Z$ dentro de un cubo de lado 2.

$X+Y+Z=2$ define un plano que interseca el cubo en los puntos (2,0,0), (0,2,0) y (0,0,2). Este es un triángulo equilátero de lado $2\sqrt 2$ y área $2\sqrt{3}$. El centro del triángulo está en (2/3,2/3,2/3) que está a una distancia de $2/\sqrt{3}$ desde el origen.

Los puntos para los cuales $X+Y+Z\leq2$ son aquellos en la pirámide triangular cuya base es este triángulo y cuyo vértice es el origen. Esto tiene un volumen de ${1 \over 3} A h={1 \over 3}{2\sqrt 3}{2 \over \sqrt 3}={4 \over 3}$.

Dividiendo por el volumen total de 8 da como resultado la probabilidad ${1 \over 6}$

(Las integrales están ocultas en las fórmulas para el área ${ 1 \over 2} base \times height$ de un triángulo y el volumen ${1 \over 3} area \times height$ de una pirámide triangular.)