Mostrar una identidad que incluya una suma de arctangents de expresiones algebraicas

Question

Demuestre que $$ 2 \ tan ^ {- 1} \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + a ^ 2} - x + b} {\ sqrt {a ^ 2-b ^ 2}} + \ tan ^ {- 1} \ frac {x \ sqrt {a ^ 2-b ^ 2}} {b \ sqrt {x ^ 2 + a ^ 2} + a ^ 2} + \ tan ^ {- 1} \ frac {\ sqrt { a ^ 2-b ^ 2}} {b} = n \ pi. $$

Intenté usar $$ x= a \tan \theta ,\; b= a \sin\phi,$ $ pero luego los cálculos no están funcionando; es decir, no soy capaz de simplificar más.

Answer 1

Dado que las raíces de $\tan x$ son precisamente los múltiplos $n \pi$ de $\pi$, la aplicación de $\tan$ a los lados da que la ecuación es equivalente a $$\phantom{(ast)} \qquad \tan[2 \arctan A + \arctan B + \arctan C] = 0 \qquad (\ast)$$ para $$ A := \frac{\sqrt{x^2 + a^2} - x - b}{\sqrt{a^2 - b^2}} , \qquad B := \frac{x \sqrt{a^2 - b^2}}{b \sqrt{x^2 + a^2} + a^2} , \qquad C := \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{b} . $$

La iteración de la tangente de la suma de la identidad da una fórmula para la tangente de la suma de los cuatro ángulos: $$\tan(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4) = \frac{\sum_i \tan \alpha_i - \sum_{i < j < k} \tan \alpha_i \tan \alpha_j \tan \alpha_k} {1 - \sum_{i < j} \alpha_i \alpha_j + \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4} .$$ Así, podemos evaluar el lado izquierdo de $(\ast)$ mediante el establecimiento $\tan \alpha_1 = \tan \alpha_2 = A, \tan \alpha_3 = B, \tan \alpha_4 = C$. Desde sólo queremos comprobar que la suma se desvanece, es mostrar que el numerador es cero, es decir, que $$2 A + B + C - A^2 B - A^2 C - 2 ABC = 0 .$$ Simplificación es un poco tedioso pero sencillo.

Answer 2

Sugerencias:

• Escribir la ecuación como $\tan^{-1}\frac{x\sqrt{a^2-b^2}}{b\sqrt{x^2+a^2} + a^2} + \tan^{-1}\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b} = n\pi - 2\tan^{-1}\frac{\sqrt{x^2+a^2} - x + b}{\sqrt{a^2-b^2}} $
• Se aplican $\tan$ en ambos lados y el uso de $\tan (n \pi - 2\alpha) = -\tan 2\alpha$
• Resolver las tangentes a la izquierda, usando $\tan \beta + \tan \gamma =\frac{\tan \beta + \tan \gamma}{1- \tan \beta \tan \gamma}$ y en el lado derecho con $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
• Ahora te queda una ecuación que consta de sólo fracciones algebraicas en las variables de $a,b,x$