Evaluar la integral indefinida

Question

$I = \int (x^2 + 2x)\cos(x) dx$

Integración por partes, seleccione $u$ :

$$\begin{align} u &= \cos(x) \\ dv &= (x^2 + 2x)dx \\ du &= -\sin(x) \\ v &= \frac{1}{3}x^3 + x^2 \end{align}$$

Sustituir en la fórmula: $$\begin{align} \int udu &= uv - \int vdu \\ &= \cos(x)\left(\frac{1}{3}x^3 + x^2\right) - \int\left(\frac{1}{3}x^3 + 2x\right)(-\sin(x)) \\ &= \cos(x)\left(\frac{1}{3}x^3 + x^2\right) + \int\left(\frac{1}{3}x^3 + 2x\right)(\sin(x)) \end{align}$$

En este punto, no parece que pueda usar la regla de sustitución en la integral de la derecha, así que decido usar la regla de sustitución de nuevo.

Integración por partes II, elija $u$ :

$$\begin{align} u &= sinx \\ dv &= (\frac{1}{3}x^3 + 2x)dx \\ du &= cosx \\ v &= \frac{1}{12}x^4 + x^2 \end{align}$$

Sustituir en la fórmula: $$\begin{align} \int_{}udu &= uv - \int_{}vdu \\ &= (sinx)(\frac{1}{12}x^4 + x^2) - \int_{} (\frac{1}{12}x^4 + x^2)(cosx)dx \end{align}$$

Combinando las dos integraciones por partes y siento que no estoy más cerca de evaluar la integral que desde donde empecé... La integral sigue ahí y siento que otra integración por partes no va a funcionar.
$$\int(x^2 + 2x)\cos(x) = (\cos(x))\left(\frac{1}{3}x^3 + x^2\right) + (\sin(x))\left(\frac{1}{12}x^4 + x^2\right) - \int\left(\frac{1}{12}x^4 + x^2\right)(\cos(x))dx$$

¿He hecho mal las cuentas y me he equivocado en alguna parte? ¿O se supone que debo enfocar esto de otra manera?

Answer 1

Yo lo haría así $$\int(x^2+2x)\cos x\ dx$$

Por integración por partes: $u=(x^2+2x),v^{\prime}=\cos x$ $$=(x^2+2x)\sin x-\int(2x+2)\sin xdx$$

De nuevo, aplique la integración por partes para $\int(2x+2)\sin xdx$ $u=(2x+2), v^{\prime}=\sin x$ y obtenemos

$\int(2x+2)\sin xdx=2\sin x-\cos x(2x+2)$

Así que, finalmente conseguimos, $$=(x^2+2x)\sin x-[2\sin x-\cos x(2x+2)]+C$$ $$=(x^2+2x-2)\sin x+2(x+1)+C$$

$$\int(x^2+2x)\cos x\ dx=(x^2+2x-2)\sin x+2(x+1)+C$$