Cada grupo de orden 8 tiene un subgrupo de orden 2 y un subgrupo de orden 4.

Question

Así que, yo estaba tratando de demostrar el siguiente teorema:

Deje $G$ ser un grupo de orden $8$. Por lo $G$ tiene un subgrupo de orden $2$ y un subgrupo de orden $4$.

Primero he demostrado que si un grupo tiene un número finito de orden, tiene un elemento $g_0$ orden $2$. Por lo $H=\{g_0,e\}$ es un grupo de orden $2$. Ahora estoy tratando de encontrar el grupo de orden $4$. Por el teorema de Lagrange puedo entender que:

$$|G|=|H|\cdot |G\,:\,H| \Rightarrow |G\,:\,H|=4$$

Así que tenemos $4$ Cosets. Pero, ¿cómo continuar a partir de aquí? Tengo la sensación de perder el último-dos líneas de la prueba.

Answer 1

Así, se puede demostrar que los $G$ tiene un subgrupo de orden 4 directamente. Si $G$ tiene un elemento de orden 4 o 8, a continuación, se nos ha hecho [żpor qué?]

De lo contrario vamos a $\pi$ e $\alpha$ dos elementos distintos en $G$a de orden 2. Por lo $\pi = \pi^{-1}$ e $\alpha = \alpha^{-1}$. A continuación, $\pi\alpha$ debe tener un orden 2 así, no sea un elemento de orden 4 o de 8, lo que implicaría que hemos terminado. Esto implica que $\pi \alpha = \alpha \pi$. [De hecho, para cualquier elemento $a,b,c$ en cualquier grupo de $G'$si $ab=ac$ entonces $b$ debe ser igual a $c$. Pero aquí $(\pi \alpha)(\pi \alpha) = 1$, mientras que $(\pi \alpha)(\alpha \pi) = (\pi \alpha)(\alpha^{-1}\pi^{-1}) = 1$. De hecho, $\pi \alpha = \alpha \pi$.] Esto implica que $H \doteq \{1,\alpha, \pi, \pi\alpha \}$ es cerrado bajo la composición, y como cada elemento de la $H$ tiene su inverso en $H$, se deduce que el $H$ es un subgrupo, y es de orden 4.

Answer 2

Si $G$ no tiene subgrupos de orden $4$ , entonces cada $g\ne e$ tiene orden $2$ . Luego para cualquier $g,h$ , $$ e = (gh) ^ 2 = ghgh = ghg ^ {- 1} h ^ {- 1},$$i.e. $ G$ is abelian. Then $ \ {e, g , h, gh \}$ would be a subgroup of order $ 4 $ .

Answer 3

Pista: Ningún grupo tiene exactamente dos elementos de orden dos.

Supongamos que no existe ningún subgrupo de orden cuatro. Aplicar el teorema de Lagrange. Aplica la pista. Ver la respuesta de @Mike .

Referencia para el lema que es la pista:

Ejercicio 4.61 de "Álgebra abstracta contemporánea de Gallian (octava edición)"