¿Por qué una función se vuelve más delgada a medida que$x$ se multiplica por una constante?

Question

Ejemplo:

$$\cos(x)$$

$$\cos(8x)$$

"Más delgado" podría no ser el término correcto. Pero yo solo quiero saber ¿por qué el cambio de $x$ a $8x$ hacer que se vea como que?

Answer 1

Desde el comentario por Yanko arriba:

Es simple, lo que la primera función que se utiliza para hacer en un intervalo de $0$ a $1$ la nueva función en el intervalo de $0$ a $1/8$. En particular, si cos rondas una vez de $−π/2$ a $π/2$ la nueva función va a hacer que de $−π/16$ a $π/16$. Por lo que le ronda de $8$ veces en el intervalo de a $−π/2$ a $π/2$. Que hace que se vea más delgada.

Answer 2

Tomar una puñalada en una no-respuesta matemática (bueno, mínimamente matemática supongo). Hace intuitivo sentido para mí, pero yo no puedo explicar matemáticamente.

La primera cosa a notar es que esto no está relacionado con el uso de goniométrica funciones. Se aplica a cualquier función, incluso tan simples como $y = x$. La única diferencia es que es menos evidente a primera vista que $y = 8.x$ es una aplastado (más"fino"), la versión de $y = x$.
La mayoría de las personas perciben la diferencia entre los dos gráficos como una rotación en lugar de horizontal de aplastamiento.

Sin embargo, si usted fuera a color-código de la gráfica (por ejemplo, el rojo-verde-azul-rojo-... para todos los valores enteros de a$x$ (redondeado hacia abajo)), verás que en realidad es aplastada y no gira.

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Pensar en el eje x como medida de la distancia física, digamos kilómetros. Desde su punto de partida ($x=0$), la torre Eiffel es de 10 kilómetros por delante de ($x=10$), y el Big Ben es otro de 20 kilómetros más ($x=30$). Trate de imaginar visualmente los monumentos en el eje x.

                                                                 ^
                       A                                        |o|
                      /-\                                       | |
-------------------------------------------------------------------------------------> (km)
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . . . . . . 20 . . . . . . . . . 30 . . . . . . . .

Me disculpo por la mediocre obra de arte.

Ahora voy a introducir una nueva unidad, la Flatermeter, que pasa a ser exactamente igual a la de 10km. ¿Qué sería de nuestro gráfico ahora mira como si el eje X se expresa la distancia en Flatermeters?

Desde su punto de partida ($x=0$), la torre Eiffel se encuentra a 10 kilómetros por delante, que es de 1 Flatermeter ($x=1$), y el Big Ben es otro de 20 kilómetros más, que es otro de 2 Flatermeters ($x=3$). Que tendría este aspecto:

        ^
    A  |o|
   /-\ | |
-------------------------------------------------------------------------------------> (Fm)
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . . . . . . 20 . . . . . . . . . 30 . . . . . . . .

Observe cómo todo se agruparon juntos, y todas las distancias reducido por un factor de 10. Observe también que podría sustituir a $Fm$ por $10.km$ como son la igualdad de valores.

El original de la $y = f(km)$ era bastante amplio. Pero la $y = f(Fm)$, que es el mismo que $y = f(10km)$ ha agrupado todo mucho más cerca (que es lo que estamos llamando "más fino" en tu pregunta).

Cuando usted toma un gráfico (por ejemplo, $y = x$) y, a continuación, inflar artificialmente el "tamaño de paso" (= valor de x) por un factor de $k$ (por ejemplo, $y = k.x$), entonces la gráfica se ejecuta a través de su forma de $k$ veces más rápido. Dependiendo de cómo visualizar el gráfico, este tiene uno de los dos (visual) consecuencias:

• Las marcas en el eje x se separan (por un factor de $k$) y en el gráfico que tiene exactamente la misma forma, visualmente hablando.
• Las marcas en el eje x de la estancia en el mismo y el mismo gráfico horizontal se reduce (por un factor de $k$), visualmente hablando.

Su ejemplo se trata con el último escenario.

Answer 3

La trama de un gráfico es realmente sólo un conjunto de puntos de $S=\{(x,y)\mid y=f(x)\}$. Digamos que usted cumpliera $x$ a $ax$ por una constante $a$. Entonces, seguramente, $S$ no en general siguen siendo los mismos. El nuevo conjunto se contienen en cambio de $(x/a,y)$ por cada $(x,y)$ que solía ser en $S$, desde ahora, $y=f(a(x/a))=f(x)$ que fufills la definición de un punto sobre la gráfica de una función. Por lo tanto la acción de "hacer la $f(x)$ convertido $f(ax)$" toma cada punto de $(x,y)$ a $(x/a,y)$, por lo tanto "comprimir" la $x$-eje.

Answer 4

Multiplicando el argumento de una función trigonométrica por un constante cambio de su período, que es, precisamente, la distancia entre dos consecutivos local máximos o mínimos locales, que en cualquier caso deben ser iguales.

Considere la posibilidad de la general de la onda sinusoidal $y=A\sin(ax+b)+C$. El período de esta onda o función trigonométrica es dado por $2\pi/a$.

En su caso, definir $A_1:y=\cos x$ e $A_2:y=\cos 8x$. Por el mero hecho de inspección de las expresiones se puede observar que estas dos ondas que tienen una diferencia de períodos (debido a que los coeficientes de $x$ es diferente en ambos casos). Período de $A_1$ es $2\pi$, sin embargo, que de $A_2$ es $\pi/4$. Es por eso que usted observar un cambio en las gráficas de estas funciones.