Grupo de extensión entre los módulos de Verma para$\mathfrak{sl}_2$

Question

Deje $\mathcal{g}=\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ ser la simple mentira álgebra de $\text{SL}_2$, para cualquier $\lambda \in \mathbb C$ se puede considerar el correspondiente Verma módulo de $M_{\lambda}$, que es infinito dimensional.

Es un directo de cálculo de la dimensión de $\text{Hom}_{g}(M_{\lambda},M_{\mu})$ es $1$ si $\lambda = \mu$, $1$ si $\lambda+\mu=-2$ e $\mu \in \mathbb Z_{\geq 0}$, y es $0$ en otros casos.

Cómo calcular el primer grupo de la extensión de $\text{Ext}^1(M_{\lambda},M_{\mu})$ dentro de la categoría de $\mathcal{O}$?
Cuando hay un no-división de extensión de $M_{\lambda}$ por $M_{\mu}$?

Creo que una condición necesaria es $\lambda+\mu=-2$ e $\lambda < \mu$, pero no sé si es suficiente.

Answer 1

De hecho, la condición es necesario, consulte Humphrey, el libro de PDE categoría $\mathcal O$ página 113.

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Podemos suponer $\lambda = -2, \mu = 0$. Para calcular esta $\text{Ext}^1 $ utilizamos la secuencia exacta corta $$ 0 \to M(0) \to P(-2) \to M(-2) \to 0 $$ where $P(-2)$ is the projective cover of $M(-2)$. To see the existence of such a sequence, you just need to know that $\mathcal O$ tiene suficiente projectives y PDE reciprocidad.

La larga secuencia exacta asociada a $\text{Hom}(-,M(0))$ da $$ 0 \to \text{Hom}(M(-2),M(0)) \to \text{Hom}(P(-2),M(0)) \to \text{Hom}(M(0),M(0)) \to \text{Ext}^1(M(-2),M(0) \to 0 $$

Y desde $\text{Hom}(M(-2),M(0)) \cong \Bbb C$ e $\text{Hom}(M(0),M(0)) \cong \Bbb C$ esto implica que $\text{Hom}(P(-2),M(0)) \cong \Bbb C$ e $\text{Ext}^1(M(-2),M(0)) \cong \Bbb C$.

Comentario : El no triviales de la clase es representada por $P(-2)$.

Observación 2 : Desde el corto secuencia exacta es también una resolución proyectiva desde $P(0) = M(0)$ uno podría tratar de calcular $\text{Ext}$ a partir de la resolución, sin embargo todo se reduce a probar que $\text{Hom}(P(-2),M(0)) \cong \Bbb C$ y no sé cómo hacerlo sin que el largo de la secuencia exacta. Yo estaría interesado en ver otro argumento.