Atascado en probar si la secuencia es convergente o no

Question

He tratado de determinar si la siguiente secuencia es convergente o no. Esto es lo que he obtenido:

Ejercicio 1 : Encuentre el $\min,\max,\sup,\inf, \liminf,\limsup$ y determinar si la secuencia es convergente o no:

$X_n=\sin\frac{n\pi}{3}-4\cos\frac{n\pi}{3}$

Anoté algunos casos:

$X_1 = \sin\frac{\pi}{3}-4\cos\frac{\pi}{3}= \frac{\sqrt3-4}{2}$
$X_2 = \sin\frac{2\pi}{3}-4\cos\frac{2\pi}{3}= \frac{\sqrt3+4}{2}$
$X_3 = \sin\frac{3\pi}{3}-4\cos\frac{3\pi}{3}=4$
$X_4 = \sin\frac{4\pi}{3}-4\cos\frac{4\pi}{3}= \frac{4-\sqrt3}{2}$
$X_5 = \sin\frac{5\pi}{3}-4\cos\frac{5\pi}{3}= \frac{4-\sqrt3}{2}$
$X_6 = \sin\frac{6\pi}{3}-4\cos\frac{6\pi}{3}= -4$

Por lo tanto, como se encontró anteriormente, $\min = -4$ , $\max = 4$ , $\inf = -4$ , $\sup = 4$ , $\liminf = -4$ , $\limsup = 4$ .

Comprobemos si es convergente o no: La secuencia está acotada como se ha dicho anteriormente, así que vamos a comprobar si es decreciente o creciente.

$X_n \geq X_{n+1}$

$\sin\frac{n\pi}{3}-4\cos\frac{n\pi}{3} \geq\sin\frac{(n+1)\pi}{3}-4\cos\frac{(n+1)\pi}{3}$

$\sin\frac{n\pi}{3} - \sin\frac{(n+1)\pi}{3} \geq -4\cos\frac{(n+1)\pi}{3} + 4\cos\frac{n\pi}{3}$

He utilizado la identidad trigonométrica para $\sin\alpha+\sin\beta$ y $\cos\alpha-\cos\beta$ :

$-\cos\frac{\pi(2n+1)}{6} \geq 4\sin\frac{\pi(2n+1)}{6}$

¿Qué debo hacer ahora? Estoy atascado aquí. Gracias, y perdón si he cometido errores.

Answer 1

Sucede que su secuencia es una secuencia cíclica. Más concretamente, sus seis primeros términos son $$-2+\frac{\sqrt3}2,2+\frac{\sqrt3}2,4,2-\frac{\sqrt3}2,-2-\frac{\sqrt3}2,\text{ and }-4$$ y luego se repite una y otra vez. Por lo tanto:

• $\max\{X_n\,|\,n\in\mathbb N\}=\sup\{X_n\,|\,n\in\mathbb N\}=\limsup_nX_n=4$ ;
• $\min\{X_n\,|\,n\in\mathbb N\}=\inf\{X_n\,|\,n\in\mathbb N\}=\liminf_nX_n=-4$ ;
• la secuencia diverge.

Answer 2

El límite de una sucesión, si existe, es igual a su lim inf y lim sup. Por consiguiente, si el lim inf y el lim sup de una sucesión son diferentes, entonces su límite no puede existir.

Answer 3

Calculando el primer $6$ términos por sí solos no demuestran que $\min X_n=-4$ ni $\max X_n=4$ sino que $\min X_n\le-4$ y $\max X_n \ge 4$ ya que no dice nada sobre el resto de la secuencia.

Sugerencia : $X_{n+6}=X_n$

Answer 4

Una pista: Tenga en cuenta que se trata de un periódico secuencia, es decir: $x_{n+6}=x_n$ .

Por lo tanto, esta secuencia diverge .

Answer 5

Si la secuencia es convergente, entonces todas sus subsecuencias deben convergen al mismo límite . Consideremos la subsecuencia definida por $n_{k}=3k$ : $$X_{n_{k}}=\sin(k\pi)-4\cos(k\pi)=-4\cos(k\pi)=\begin{cases} -4 & \text{if }k\text{ is even}\\ +4 & \text{if }k\text{ is odd}. \end{cases}$$ Esta subsecuencia oscila entre los valores de $-4$ y $+4$ . ¿Qué te dice eso?