Suma del cuadrado del coeficiente binomial con términos positivos y negativos.

Question

Buscando $\displaystyle \binom{2n}{1}^2-2\binom{2n}{2}^2+3\binom{2n}{3}^2-\cdots \cdots -2n\binom{2n}{2n}^2.$

Lo que he intentado:

PS

PS

Notación de la suma: $$(1-x)^{2n}=\binom{2n}{0}-\binom{2n}{1}x+\binom{2n}{2}x^2+\cdots \cdots +\binom{2n}{2n}x^{2n}$ $

Answer 1

La solución utiliza la serie representación de polinomios de Legendre:

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}^2(x-1)^{n-k}(x+1)^k\tag1$

$\frac{x+1}{x-1}=-1$ a $x=0$ es válido. Extender el original de la suma (S) de la siguiente manera:

$S\frac{(x-1)^{2n}}{2^{2n}}=\frac{1}{2^{2n}}\sum\limits_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}^2 k(\frac{x+1}{x-1})^{k-1}(x-1)^{2n}\tag2$

Podemos darnos cuenta de que

$k(\frac{x+1}{x-1})^{k-1}=(-\frac{(x-1)^2}{2})\frac {d}{dx}(\frac{x+1}{x-1})^{k}\tag3$

Poner de nuevo a eqution (2) y vuelva a colocar el orden de la suma y la derivación, se obtiene:

$S(x)\frac{(x-1)^{2n}}{2^{2n}}=-\frac{(x-1)^2}{2}\frac {d}{dx}\Big(\frac{1}{2^{2n}}\sum\limits_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}^2 (\frac{x+1}{x-1})^{k}(x-1)^{2n}\Big)\tag4$

Vamos a comparar la summa parte de (4) y $P_n(x)$ obtenemos:

$S(x)\frac{(x-1)^{2n}}{2^{2n}}=-\frac{(x-1)^2}{2}\dfrac {dP_{2n}(x)}{dx}\tag5$

Finalmente

$S(x)=\frac{2^{2n-1}}{(x-1)^{2n-2}}\dfrac {dP_{2n}(x)}{dx}\tag6$

La aplicación de la recursividad relación de los polinomios de Legendre tenemos en $x=0$:

$S(0)= 2n2^{2n-1}P_{2n-2}(0)\tag7$

Answer 2

A partir de

$$\sum_{k=0}^{2n} (-1)^{k-1} k {2n\elegir k}^2 = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} {2n\elegir k} k {2n\elegir k} \\ = 2n \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} {2n\elegir k} {2n-1\elegir k-1} = 2n \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} {2n\elegir k} {2n-1\elegir 2n-k} \\ = 2n \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} {2n\elegir k} [z^{2n-k}] (1+z)^{2n-1} \\ = 2n [z^{2n}] (1+z)^{2n-1} \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} {2n\elegir k} z^k \\ = 2n [z^{2n}] (1+z)^{2n-1} \left(1+\sum_{k=0}^{2n} (-1)^{k-1} {2n\elegir k} z^k\right).$$

Ahora $2n [z^{2n}] (1+z)^{2n-1}$ es cero, por lo que podemos continuar con

$$2n [z^{2n}] (1+z)^{2n-1} \sum_{k=0}^{2n} (-1)^{k-1} {2n\elegir k} z^k \\ = - 2n [z^{2n}] (1+z)^{2n-1} (1-z)^{2n} = - 2n [z^{2n}] (1-z^2)^{2n-1} (1-z) \\ = - 2n [z^{2n}] (1-z^2)^{2n-1} = - 2n [z^{n}] (1-z)^{2n-1}.$$

Este es

$$(-1)^{n+1} \times 2n \times {2n-1\elegir n} = (-1)^{n+1} \times 2n \times {2n\elegir n} \frac{n}{2n}$$

para una respuesta de

$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{ (-1)^{n+1} \times n \times {2n\elegir n}.}$$