¿Por qué$\int_a^b f(x)h'(x) \, \mathrm{d}x=0$ implica que$f$ es constante?

Question

Como una asignación, tengo que probar lo siguiente:

Si $f(x)$ es una función continua a trozos y $\int_a^b f(x)h'(x) \, \mathrm{d}x=0$ para todos los tramos continuamente diferenciable $h(x)$ que satisfacer $h(a)=h(b)=0$, a continuación, $f$ es constante en $[a,b]$.

La asignación también proporciona algunos consejos:

Definir $$c:=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x=\frac{1}{b-a} \sum_{i=1}^{m} \left ( \int_{x_{I-1}}^{x_i} f(x) \, \mathrm{d}x \right )$$ and use $$h(x)=\int_a^x f(s)-c \, \mathrm{d}s$$ Show that $$\int_a^b \left ( f(x)-c \right )h'(x) \, \mathrm{d}x=0$$ as well as $$\int_a^b \left ( f(x)-c \right )h'(x) \, \mathrm{d}x = \int_a^b \left ( f(x)-c \right )^2 \, \mathrm{d}x$$ and use this to conclude that $f(x)-c=0$ for all $x \in [a,b]$.

Ahora, desde lo que yo entiendo, $h(b)=0$: $$h(x)=\int_a^b f(s)-c \, \mathrm{d}s=\int_a^b f(s) \, \mathrm{d}s-\left . cs \right |_{s=a}^b=(b-a)c-(cb-ca)=0$$ Obviamente, $h(a)=0$ .
Lo que yo no entiendo, es cómo se supone que voy manipular $\int_a^b \left ( f(x)-c \right )h'(x) \, \mathrm{d}x$ obtener $\int_a^b \left ( f(x)-c \right )^2 \, \mathrm{d}x$. He intentado muchas cosas (incluyendo la integración por partes, que parece prometedor), pero fue en vano.

Answer 1

Me parece un paso para demostrar más tarde que el de Euler-Lagrange de ecuaciones en el cálculo de la variación. Ahora supongamos que $\int_a^b f(x)h'(x) \, \mathrm{d}x=0$ para todos los tramos continuamente diferenciable $h(x)$ que satisfacer $h(a)=h(b)=0$

Ahora elegir un especial $h$ (tiene las propiedades de arriba) para mostrar que $f$ debe ser una constante y conjunto $$h(x)=\int_a^x f(s)-c \, \mathrm{d}s$$ Primero vamos a mostrar que $h(a) =0$. Esto es trivial. A continuación, vamos a mostrar que $h(b)=0$: $$h(b)=\int_a^b f(s)-c \, \mathrm{d}=\int_a^b f(s) \, \mathrm{d}-\a la izquierda . cs \right |_{s=a}^b=\int_a^bf(s)ds-(b-a)c=\\ \int_a^bf(s)ds-\int_a^bf(s)ds=0$$

Ahora vamos a mostrar que $\int_a^b (f(x)-c)^2 dx =0$:

$$\int_a^b f(x)-c)^2 dx =\int_a^b f(x)-c)h'(x) dx =\\ \int_a^b f(x)h'(x) dx + \int_a^b -ch'(x) dx = \\ \int_a^b f(x)h'(x) dx -c (h(b)-h(a))$$

Pero sabemos por nuestra suposición $\int_a^b f(x)h'(x) \, \mathrm{d}x=0$, por lo que el primer término se desvanece y como $h(a)=h(b)=0$ lo hace en el segundo término. Esto se traduce en $$\int_a^b (f(x)-c)^2 dx =0$$

Como la integral de una función no negativa es cero, entonces la función de $(f(x)-c)^2$ debe ser cero.e así, tenemos $f(x)=c \qquad x\in[a,b]$

Answer 2

Primero de todo, suponiendo que $f$ tiene sólo un número finito de discontinuidades, y observando que la integral no se ve afectada si queremos eliminar estos puntos de $[a,b],$ podemos suponer sin pérdida de generalidad que $f$ es continua en todos los de $[a,b]$.

El segundo hecho que vamos a utilizar es la siguiente: si $f>0$ es continua en a$[a,b]$, y si $\int^b_a f(x)dx=0,$ entonces $f=0$ a $[a,b].$ A probar esto, supongamos que esto es falso. A continuación, hay un $x_0\in [a,b]$ tal que $f(x_0)=\delta >0,$ y ahora la continuidad de $f$ nos da un vecindario $a<a'<x_0<b'<b$ tal que $f(x)<\delta/2$ a $(a',b')$. Esto implica que $\int^b_a f(x)dx\ge \int^{b'}_{a'}f(x)dx\ge \frac{\delta (b'-a')}{2}>0$ lo cual es una contradicción.

Ahora, si definimos $h(x)=\int^x_a (f(s)-c)ds$ donde $c$ es como en la pista, a continuación, $h'(x)=f(x)-c$ y una sustitución directa muestra que $\int^b_a (f(x)-c)^2dx=0,$ y por lo que acaba de probar, $(f(x)-c)^2=0$ e lo $f(x)=c$.