Aquí es lo que quiero decir por la fuerza bruta enfoque：
Sin pérdida de generalidad, vamos a elegir una escala adecuada tal que $AB=1$.
Conjunto
$$A=(0,0)$$ $$B=(1,0)$$ $$C=(x,y)$$
Luego, las coordenadas del centroide $E$ es
$$E=\left(\frac {x+1}{3},\frac {y}{3}\right)$$
Para encontrar las coordenadas de la incentre $D$, vamos a calcular las longitudes de los lados y el perímetro $P$ primer
$$|AB|=1$$ $$|AC|=\sqrt{x^2+y^2}$$ $$|BC|=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$$ $$P=AB+AC+BC=1+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}$$
Entonces la coordenada de la incentre D es
\begin{align} D &=\frac{|BC| A + |AC| B + |AB| C} { P } \\ &= \left (\frac { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + x} {1 + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \sqrt { ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } }} , \frac{y}{1 + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \sqrt { ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } }} \right) \end{align}
La coordenada de la orthocentre $F(a,b)$ satisface
$$\left\{ \begin{aligned} \frac{b}{a-1} &=-\frac{x}{y} \\ a&=x \end{aligned} \right.$$
Por lo tanto $$F=\left(x, \frac{x-x^2}{y}\right)$$
Por similitud
$\frac{DE}{BC}= \sqrt { \frac { \left( \frac { x + 1 } { 3 } - \frac { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x } } { 1 + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \sqrt { ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { y } { 3 } - \frac{y}{1 + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \sqrt { ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } }} \right) ^ { 2 } } { ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } }$
$=\frac{EF}{AC}=\sqrt{\frac{\left(\frac { x + 1 } { 3 }-x \right)^2 + \left(\frac { y } { 3 }-\frac { x - x ^ { 2 } } { y } \right)^2}{ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }}$
$=\frac{DF}{AB}=\sqrt{\left(\frac { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + x } { 1 + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \sqrt { ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } }-x\right)^2+\left(\frac { y } { 1 + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \sqrt { ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } }-\frac { x - x ^ { 2 } } { y }\right)^2}$
Y yo no tengo ni idea de cómo resolverlo con las manos desnudas. Siéntase libre de completar mi respuesta. Tengo la curiosidad de si hay una puramente enfoque geométrico (tal vez no constructiva).
