A veces uno se define a $e$ el (único) número para que $$\tag 1 \lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$$
De hecho, hay dos direcciones posibles.
$(i)$ Inicio con el logaritmo. Usted encontrará que es continua, monótona creciente en $\Bbb R_{>0}$, y es la variedad es $\Bbb R$. De ello se desprende $\log x=1$ algunos $x$. Definimos esta (único) $x$$e$. Algunas propiedades elementales pop-up, y uno se $$\tag 2 \lim\limits_{x\to 0}\frac{\log(1+x)}{x}=1$$
Sobre la definición de $\exp x$ como el inverso del logaritmo, y después de algunas reglas, vamos a llegar a la definición de la exponenciación de $a>0\in \Bbb R$ $$a^x:=\exp(x\log a)$$
En dicho caso, $e^x=\exp(x)$, como se esperaba. $(1)$ entonces será una consecuencia inmediata de $(2)$.
$(ii)$ , Podemos definir la $$e=\sum_{k=0}^\infty \frac 1 {k!}$$ (or the equivalent Bernoulli limit). Then, we may define $$\exp x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$$ Note $$\tag 3 \exp 1=e$$
Definimos la $\log$ como la inversa de la función exponencial. Podemos obtener ciertas propiedades de $\exp x$. Los más importantes serían $$\exp(x+y)=\exp x\exp y$$ $$\exp'=\exp$$ $$\exp 0 =1$$
En particular, tenemos que $\log e=1$. Podríamos entonces definir general de exponenciación una vez más por $$a^x:=\exp(x\log a)$$
Nota, a continuación, que de nuevo $e^x=\exp x$. Podemos probar a $(1)$ fácilmente recurrente a la expansión de la serie que hemos usado.
AGREGAR Como para la definición de logaritmo, hay pocos. Una es $$\log x=\int_1^x \frac{dt}{t}$$
Después de haber definido la exponenciación de números reales en racionales por $$a^x=\sup\{a^r:r\in\Bbb Q\wedge r<x\}$$
también podríamos definir $$\log x=\lim_{k\to 0}\frac{x^k-1}{k}$$
En cualquier caso, usted debe ser capaz de demostrar que
$$\tag 1 \log xy = \log x +\log y $$
$$\tag 2 \log x^a = a\log x $$
$$\tag 3 1-\dfrac 1 x\leq\log x \leq x-1 $$
$$\tag 4\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\log(1+x)}{x}=1 $$
$$\tag 5\dfrac{d}{dx}\log x = \dfrac 1 x$$
Lo que desea es una consecuencia directa de cualquiera de las $(4)$ o $(5)$ o de la primera frase en mi post.
AGREGAR podemos demostrar que para $x \geq 0$ $$\lim\left(1+\frac xn\right)^n=\exp x$$ from definition $(ii)$.
En primer lugar, tenga en cuenta que $${n\choose k}\frac 1{n^k}=\frac{1}{{k!}}\frac{{n\left( {n - 1} \right) \cdots \left( {n - k + 1} \right)}}{{{n^k}}} = \frac{1}{{k!}}\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\left( {1 - \frac{2}{n}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{{k - 1}}{n}} \right)$$
Dado que todos los factores de la derecha se $\leq 1$, podemos decir $${n\choose k}\frac{1}{{{n^k}}} \leqslant \frac{1}{{k!}}$$
De ello se desprende que $${\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n}=\sum\limits_{k = 0}^n {{n\choose k}\frac{{{x^k}}}{{{n^k}}}} \leqslant \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{x^k}}}{{k!}}} $$
De ello se sigue que si el límite de la izquierda existe, $$\lim {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n} \leqslant \lim \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{x^k}}}{{k!}}} = \exp x$$
Tenga en cuenta que las cantidades en $$\sum\limits_{k = 0}^n {{n\choose k}\frac{{{x^k}}}{{{n^k}}}} $$
están siempre en aumento, lo que significa que para $m\leq n$
$$\sum\limits_{k = 0}^m {{n\choose k}\frac{{{x^k}}}{{{n^k}}}}\leq \sum\limits_{k = 0}^n {{n\choose k}\frac{{{x^k}}}{{{n^k}}}}$$
Dejando $n\to\infty$, ya que el $m$ se fija en el lado izquierdo, y $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{k!}}\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\left( {1 - \frac{2}{n}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{{k - 1}}{n}} \right) = \frac{1}{{k!}}$$
vemos que si el límite existe, entonces para cada a$m$, $$\sum\limits_{k = 0}^m {\frac{{{x^k}}}{{k!}}} \leqslant \lim {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n}$$
Pero luego, tomando $m\to\infty$ $$\exp x = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \sum\limits_{k = 0}^m {\frac{{{x^k}}}{{k!}}} \leqslant \lim {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n}$$
De ello se sigue que si el límite existe $$\eqalign{
& \exp x \leqslant \lim_{n\to\infty} {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n} \cr
& \exp x \geqslant \lim_{n\to\infty} {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n} \cr}$$ which means $$\exp x = \lim_{n\to\infty} {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n}$$ se Puede mostrar que el límite existe?
El caso de $x<0$ sigue ahora de $$\displaylines{
{\left( {1 - \frac{x}{n}} \right)^{ - n}} = {\left( {\frac{n}{{n - x}}} \right)^n} \cr
= {\left( {\frac{{n - x + x}}{{n - x}}} \right)^n} \cr
= {\left( {1 + \frac{x}{{n - x}}} \right)^n} \cr} $$
usando el teorema del sándwich con $\lfloor n-x\rfloor$, $\lceil n-x\rceil$, y el hecho de $x\to x^{-1}$ es continua. Nos preocupamos sólo por los términos de $n>\lfloor x\rfloor$ a de hacer lo anterior significativa.
NOTA: Si usted está familiarizado con $\limsup$$\liminf$; la de arriba se puede poner de manera diferente a como $$\eqalign{
& \exp x \leqslant \lim \inf {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n} \cr
& \exp x \geqslant \lim \sup {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n} \cr} $$ which means $$\lim \inf {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n} = \lim \sup {\left( {1 + \frac{x}{n}} \right)^n}$$ and proves the limit exists and is equal to $\exp x$.
