Determinante de una matriz particular.

Question

¿Cuál es la mejor manera de encontrar el determinante de la siguiente matriz?

$$A=\left(\begin{matrix} 1&ax&a^2+x^2\\1&ay&a^2+y^2\\ 1&az&a^2+z^2 \end{matrix}\right)$$

Me pareció que se parece a una matriz de Vandermonde, pero no exactamente. No puedo usar $|A+B|=|A|+|B|$ para formar una matriz de Vandermonde. Por favor, sugiera. Gracias.

Answer 1

\begin{align} &|A|\\ &=\det\left(\begin{matrix} 1&ax&a^2+x^2\\1&ay&a^2+y^2\\ 1&az&a^2+z^2 \end{matrix} \derecha) &= \begin{vmatrix} 1&ax&a^2\\1&ay&a^2\\ 1&az&a^2 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1&ax&x^2\1&ay&y^2\1&az&z^2 \fin{vmatrix} \N - etiqueta {multilinealidad en la 3ª columna} \\ &=0+a \begin{vmatrix} 1&x&x^2\\1&y&y^2\\ 1&z&z^2 \end{vmatrix} \\ &= a (x-y)(y-z)(z-x) \fin {align}

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \det\left(\begin{matrix} 1&ax&a^2+x^2\\1&ay&a^2+y^2\\ 1&az&a^2+z^2 \end{matrix}\right) =\det \left(\begin{matrix} 1&ax&x^2\\1&ay&y^2\\ 1&az&z^2 \end{matrix}\right)=a\cdot\det \left(\begin{matrix} 1&x&x^2\\1&y&y^2\\ 1&z&z^2 \end{matrix}\right) $$ que se reduce al determinante de Vandermonde $$ a(x-y)(y-z)(z-x). $$

Answer 3

Creo que la mejor manera es la siguiente: $$\Delta=\sum_{cyc}(ay(a^2+z^2)-ay(a^2+x^2))=a\sum_{cyc}(x^2z-x^2y)=a(x-y)(y-z)(z-x).$$