Demuestre que la función$f: x \rightarrow x^2$ es uniformemente continua en el conjunto$S = \bigcup \{[n,n + n^{-2}] ~|~n \in \mathbb N\}$

Question

Demostrar que la función de $f: x \rightarrow x^2$ es uniformemente continua en el set $S = \bigcup \{[~n~,~n + n^{-2}~] ~|~n \in \mathbb N\}$

Intento:

Deje $S_n = [~n~,~n + n^{-2}~]$. entonces diam $S_n = \dfrac {1}{n^2}$, lo que es claramente dependiente de $n$.

Si nos limitamos a establecer $S$ hasta $m$ números naturales, entonces seguramente la función es uniformemente continua (desde una función uniformemente continua sobre cada uno de los distintos subconjunto que son finitos en número y en cero la distancia uno de otro, también es uniformemente continua sobre su unión).

Pero, aquí, el diámetro de cada una de las $S_n$ está siempre cambiando con cada número natural.

Algún consejo sobre cómo seguir adelante con este problema será apreciado. Gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que $$|f(x)-f(y)|=|x^2 -y^2|= |x-y||x+y|.$$

Así, por $x$ $y$ $[k,k+\frac {1}{k^2}]$ tenemos $$ |f(x)-f(y)|\le \frac {1}{k^2} (2k+ \frac {2}{k^2})$$

Deje $\epsilon >0$ ser arbitrariamente pequeño número.

Elija un número natural $n_0$ tal que $$ \frac {1}{n_0^2} (2n_0+ \frac {2} {n_0^2})<\epsilon$$

Si $n\ge n_0$ $$ \frac {1}{n^2} (2n+ \frac {2} {n^2}) < \frac {1}{n_0^2} (2n_0+ \frac {2} {n_0^2})<\epsilon$$

Los dos primeros intervalo se cruzan en $x=2$, por lo tanto, la unión de los dos primeros intervalos, $[1,2\frac {1}{4}]$requiere una atención especial.

La función de $ f(x) =x^2$ es uniformemente continua en a$[1,2\frac {1}{4}],$, lo que para nuestro $\epsilon$ existe un $ \delta _1$ satisfaciendo la condición de continuidad uniforme en $[1,2\frac {1}{4}].$

Tenga en cuenta que $f(x)=x^2$ también es uniformemente continua en cada uno de los intervalos cerrados $$ [k,k+\frac {1}{k^2}]$$ for $k=3,...,n_0-1$.

Podemos encontrar $$\delta _3, \delta _4, \delta _5,...., \delta _{n_0-1}$$ to satisfy the condition of uniform continuity on $ [k,k+\frac{1}{k^2}]$.

Deje $\delta_2 = \delta_1$ y elija $$\delta = min( 1/4, \delta _1, \delta _2, \delta_3,...., \delta _{n_0-1})$$.

Tenemos $$ |x-y| < \delta \implies |x^2 -y^2| < \epsilon $$ en la unión dada.

Por lo tanto $f(x) = x^2$ es uniformemente continua en la unión dada.

Answer 2

Me corrija si mal:

$f(x) = x^2$ , $x \gt 0$, $n \in \mathbb{Z^+}$:

$f$ es uniformemente continua en cada intervalo compacto $[n, n+n^{-2}].$

Deje $\epsilon \gt 0$ ser dado, $k \in \mathbb{Z^+}$:

Para $x,y \in [k,k+k^{-2}]$ existe una $\delta_{k}$

tal que $|x-y| \lt \delta_{k}$ implica

$|f(x)-f(y)| \lt \epsilon.$

Ahora: Vamos A $x,y \in [n,n+n^{-2}] :$

$|f(x)-f(y)| = |x-y||x+y| \le $

$1/n^{2}(2n+2/n^{2})=2(1/n +1/n^4)$.

Deje $n_0$ ser tal que :

$(\star)$ : $|f(x)-f(y)| \le $

$2(2/n_0+1/n_0^2) \lt \epsilon.$

Elija $\delta \le \min(\delta_1, \delta_2,...\delta_{n_0}).$

Esta $\delta$ califica :

Para los intervalos de con $ n \le n_0$ :

$|x-y|\lt \delta$ implica $|f(x)-f(y)|\lt \epsilon.$

Ahora un poco más complicado :

Para $n\gt n_0:$

$|x-y| \le 1/n^2$ y el uso de $(\star)$:

$ |x^2-y^2| \lt \epsilon.$

Nuestra $\delta$ también es bueno para los intervalos de con $n\gt n_0$:

1)$ \delta \lt $ intervalo de longitud $ 1/n^2 $, $(\star)$ es válido.

2) $ \delta \ge $ de la longitud del intervalo de $1/n^2$

OK, ya nos restringir $x,y$ el dominio

$[n,n+1/n^2]$ donde $(\star) $ es válido.

Answer 3

Deje $\epsilon>0$ ser dado. $x^2$ es cada vez mayor en este conjunto, por lo que basta con sólo comparar los extremos de cada intervalo, a partir de la cual vemos la descomposición de comportamiento $$(n+n^{-2})^2 - n^2 = 2n^{-1}+ n^{-4}$$ Así que si usted escoge $n\gg 1$, de modo que $2n^{-1}+ n^{-4}<\epsilon$, la función es constante a a $\epsilon$ errores en todos los intervalos de $[m,m+m^{-2}]$$m>n$. Para el resto de los intervalos de $$ V=\bigcup_{i=1}^n [m,m+m^{-2}]$$ este es un conjunto compacto y $x^2$ es continua, por lo que es automáticamente uniformemente continua.

Para convertir esto en una prueba: pick $\delta_1 $, de modo que para $x,y\in V$, $|x-y| \leq \delta_1 ⟹ |f(x)-f(y)|<\epsilon$. Sin pérdida de $\delta_1 < 1/100$. A continuación, para $x,y\not\in V$ si $|x-y|<\delta_1$ esto significa $x,y$ pertenecen al mismo intervalo de $[m,m+m^{-2}]$, y por la elección de $n$ por encima de, $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. para estos puntos, que iba a ser mostrado.

Answer 4

Para cada$\epsilon>0$, tome$n_0$ como el entero menos positivo donde$(n_0+\frac{1}{n_0^2})^2-n_0^2=\frac{2}{n_0}+\frac{1}{n_0^4}<\epsilon$. También toma $\delta=\frac{1}{n_0^2}$. Obviamente,$\delta$ es una función de$\epsilon$ y para$x_1,x_2\in [n,n+\frac{1}{n^2}]$ donde$n\ge n_0$ tenemos$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$ y para$x_1,x_2\in [n,n+\frac{1}{n^2}]$ donde$n<n_0$ tenemos :$$|x_2-x_1|<\delta=\frac{1}{n_0^2}\to |x_2^2-x_1^2|<|x_2+x_1|\frac{1}{n_0^2}\le \frac{2}{n_0^2}(n_0-1+\frac{1}{(n_0-1)^2})\le\frac{2n_0}{n_0^2}=\epsilon$ $ que es lo que queríamos probar ..