Problema de trigonometría sobre el producto de funciones trigonométricas.

Question

Preguntas:

1. $\cos\dfrac{\pi}{7}\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{3\pi}{7}=?$
2. $\sin\dfrac{\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}\sin\dfrac{3\pi}{7}=?$
3. $\tan\dfrac{\pi}{7}\tan\dfrac{2\pi}{7}\tan\dfrac{3\pi}{7}=?$

Acérquese a : Si $x=\dfrac{\pi}{7}\implies 7x=\pi\implies 4x=\pi-3x\implies \sin 4x = \sin 3x$ .Tras la expansión, $$8cos^3x-4cos²x-4cosx+1=0$$

" $\cos \dfrac{\pi}{7}, \cos \dfrac{3\pi}{7}, \cos \dfrac{5\pi}{7}$ satisfará este cúbico".

Nota: No soy capaz de entender la línea anterior. ¿Por qué estos valores satisfacen esta cúbica y cómo hemos obtenido estos valores?

Por lo tanto, estas son las raíces del cúbico, y su producto es: $$\cos\dfrac{\pi}{7}\cos\dfrac{3\pi}{7}\cos\dfrac{5\pi}{7}=\dfrac{-1}{8}$$

Finalmente, $\cos\dfrac{5\pi}{7} = \cos\left(\pi-\dfrac{2\pi}{7}\right)=-\cos \dfrac{2\pi}{7}$ . Sustituyendo esto en (1) se obtiene $$\cos\dfrac{\pi}{7}\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{3\pi}{7}=\dfrac{1}{8}$$

¿Cómo podemos aplicar este concepto para encontrar los valores de

2. $\sin\dfrac{\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}\sin\dfrac{3\pi}{7}?$

3. $\tan\dfrac{\pi}{7}\tan\dfrac{2\pi}{7}\tan\dfrac{3\pi}{7}?$

No soy capaz de formar las ecuaciones de estos dos problemas. Por favor, ayuda. .

Answer 1

Dejemos que $a=\pi/7$ .

Sabemos que $x=\cos a$ es una raíz de $8x^3-4x^2-4x+1=0$ . Esto se debe a que $$3a+4a=\pi\Rightarrow \sin(3a)=\sin(4a)$$ como usted escribió.

Ahora bien, tenga en cuenta que $3\cdot 3a+4\cdot 3a=3\pi\Rightarrow \sin(3\cdot 3a)=\sin(4\cdot 3a)$ . Esto puede hacerse para $5a$ también. Por eso $\cos (3a),\cos (5a)$ satisfacer el cúbico.

Para el 3, ya que $3a+4a=\pi\Rightarrow \tan(3a)+\tan(4a)=0$ tenemos $$\frac{\tan a+\tan(2a)}{1-\tan a\tan(2a)}+\frac{2\tan(2a)}{1-\tan^2(2a)}=0,$$ es decir $$\tan a+3\tan(2a)-3\tan a\tan^2(2a)-\tan^3(2a)=0.$$ Configurar $x=\tan a$ nos da $$x+\frac{6x}{1-x^2}-\frac{12x^3}{(1-x^2)^2}-\frac{8x^3}{(1-x^2)^3}=0,$$ es decir $$x^6-21x^4+35x^2-7=0.$$

En este caso, observe que $x=\tan a,\tan(2a),\tan(3a)$ son raíces de esta ecuación por el argumento similar anterior. Por lo tanto, $\tan^2(ka)\ (k=1,2,3)$ son raíces de $$x^3-21x^2+35x-7=0.$$ Por lo tanto, tenemos $$\tan^2a\tan^2(2a)\tan^2(3a)=7\Rightarrow \tan a\tan(2a)\tan(3a)=\sqrt 7.$$

Por último, tenemos $$\sin a\sin(2a)\sin(3a)=\cos a\cos(2a)\cos (3a)\times \tan a\tan(2a)\tan(3a)=\frac{\sqrt 7}{8}.$$

Answer 2

Como $\sin\left[7\left(\pm\dfrac{u\pi}7\right)\right]=0$ para cualquier número entero $u$

Si $\sin7x=0,7x=n\pi$ donde $n$ es un número entero cualquiera

$\implies x=\dfrac{n\pi}7$ donde $n=0,\pm1,\pm2,\pm3\pmod7$

Para $f(c)=8c^3-4c^2-4c+1=0$

$f'(c)=24c^2-8c-4=4(6c^2-2c-1)$

Como $f'(c)=0,f(c)=0$ no tienen ninguna raíz en común, $f(c)=0$ no tiene raíz repetida.

Como $\cos(-A)=\cos A,\cos\left(\pm\dfrac{r\pi}7\right),r=1,2,3$ serán las raíces de $f(c)=0$

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Para el producto Sine, recomendaría ce

y utilizar $\sin(\pi-B)=\sin B$

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Para el Producto tangente, recomendaría el método aplicado en Suma de funciones tangentes cuyos argumentos están en series aritméticas específicas y Demostrar que $\cot^2{(\pi/7)} + \cot^2{(2\pi/7)} + \cot^2{(3\pi/7)} = 5$

para encontrar las raíces de $t^6-21t^4+35t^2-7=0--->(2)$ son $\tan\frac{r\pi}7$ donde $r=1,2,3,4,5,6$

y utilizar $\tan(\pi-C)=-\tan C$