Cuantificadores (lógica)

Question

Tengo una pregunta acerca de los cuantificadores en la lógica.

Sé que podemos cambiar los cuantificadores "$\forall$" entre ellos (por ejemplo, $\forall x \in X, \forall y \in Y, p(x, y) \Leftrightarrow \forall y \in Y, \forall x \in X, p(x, y)$), los cuantificadores "$\exists$" entre ellos y que no podemos hacer esto por dos cuantificadores "$\exists$" y "$\forall$" (por ejemplo, sólo tenemos : $\exists x \in X, \forall y \in Y, p(x, y) \Rightarrow \forall y \in Y, \exists x \in X, p(x, y)$)

Mi problema es el siguiente, si yo tomemos, por ejemplo, la proposición :

$\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \{z \in \mathbb{R} | z = x + 3\}, p(x, y)$,

el conjunto a que $y$ pertenece depende de $x$ derecho ? En este caso, no tiene ningún sentido para mí para cambiar los dos cuantificadores "$\forall$"(por $x$ tiene que ser definido "primero").

Se podría decir que no es un problema, ya que podemos cambiar los dos "$\forall"$ en la proposición anterior, pero entonces, si tomamos :

$\exists y \in \{z \in \mathbb{R} | z = x + 3\}, \forall x \in \mathbb{R}, p(x, y)$,

No podemos cambiar "$\forall$" y "$\exists$" y, de nuevo, no tiene ningún sentido para mí...

(Tengo la sensación de que simplemente no es una buena manera de escribir y que, obviamente, tenemos que definir $x$ primero, pero no estoy 100% seguro...)

Puede que alumbran mí ? Gracias !

Answer 1

En este caso, el uso de la teoría de conjuntos de símbolos parece complicar las cosas.

Supongamos por simplicidad $\mathbb R$ como dominio; de esta manera, podemos simplemente escribir $\forall x$.

¿Qué significa : $∀y ∈ \{ z \mid z=x+3 \}$ ? Simplemente significa : $y=x+3$.

Por lo tanto, la fórmula será : $\forall x \forall y \ (y=x+3 \to p(x,y))$.

En este caso, nosotros no tenemos ningún problema con el intercambio de los dos cuantificadores.

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En cuanto al segundo ejemplo, las cosas son diferentes.

En general, no podemos intercambiar $\forall$ e $\exists$.

Más específicamente : $\exists x \forall y P(x,y)$ implica $\forall y \exists x P(x,y)$, pero no viceversa.

Considere el siguiente contraejemplo :

$\forall m \exists n (m < n)$

tiene en $\mathbb N$ (es suficiente como para considerar la $m+1$), mientras que :

$\exists n \forall m (m < n)$

no.

Answer 2

Larga historia corta, estás en lo correcto!

el conjunto a que $y$ pertenece depende de $x$ derecho ? En este caso, no tiene ningún sentido para mí para cambiar los dos cuantificadores $\forall$ (por $x$ tiene que ser definido de "primera").

Eso es todo, si $x$ e $y$ son independientes, se puede cambiar la $\forall$ cuantificadores, si no, no se puede.

La razón detrás de esto, como se ha explicado con el ejemplo de Mauro ALLEGRANZA la respuesta, es que puede ser escrita:

$$\forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb Y_x, p(x,y)$$

Que es lo mismo que escribir:

$$\forall x \in \mathbb X, \forall y \in \mathbb Y, (y\in \mathbb Y_x \implies p(x,y))$$

Ahora usted puede ver que $x$ e $y$ no juegan roles simétricos.

Answer 3

Una forma de analizar $\forall$ e $\exists$ es imaginar una matriz en coordenadas Cartesianas de blanco y negro cuadrados, donde los blancos en $(x,y)$ representa a $p(x,y)$ y negro en $(x,y)$ representa a $\not p(x,y)$. A continuación,"$\exists y: \forall x: p(x,y)$" significa "Hay una fila que consta totalmente de cuadrados blancos", y "$\forall x: \exists y:p(x,y)$" significa "Cada columna tiene un cuadrado blanco". Si hay una fila de cuadrados en blanco, a continuación, cada columna tiene un cuadrado blanco (cualquiera que sea la plaza en la que la columna está en blanco de la fila), pero cada columna con un cuadrado blanco no significa que haya un blanco de la fila: los cuadrados blancos podría ser en columnas diferentes.

También se $\forall x: \forall y \in S_x: p(x,y)$ puede ser interpretado como "Cada columna tiene un subconjunto definido por $S_x$ para que todos los cuadrados son de color blanco." Pero tomando, para cada columna, un subconjunto de esa columna es equivalente a simplemente tomar un subconjunto de la totalidad del plano Cartesiano, para empezar. Por ejemplo, en tu ejemplo, podemos palabra como "Cada cuadrado para que $y=x+3$ es blanca". Si queremos, podemos escribir esto de una manera simétrica como $\forall y \in \mathbb{R}, \forall x \in \{z \in \mathbb{R} | y = x=z + 3\}, p(x, y)$.