La catenaria, ayuda con la ecuación para una cadena colgante.

Question

Por lo que el problema de la trata con una cadena de longitud fija, se dobla pero no se estira bajo la gravedad.

El total de graviational energía potencial es $$g\rho\int y\sqrt{1 + y^{'2}}dx$$

Donde $g$ es la gravedad.

El problema tiene una imagen de la cadena en el plano xy

Así que lo que quiero saber es cómo derivar la ecuación mediante el dibujo. Es para mi limitado entendimiento de que la raíz cuadrada $\sqrt{1 + y^{'2}}$ es la descripción de un segmento de la curva, pero ¿qué es exactamente el $y$ que representa en la imagen? Y cómo $mgh$ se traduce en la ecuación?

También cualquier ayuda en llegar a la solución de $y = coshx$ sería muy apreciada pero estoy más interesado en la ecuación de ahora.

Answer 1

La masa en$mgh$ es localmente$dm=\rho\,ds$, donde$\rho$ es la masa lineal y$ds$ el elemento de longitud, también escrito$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=dx\sqrt{1+y'^2}$.

De ahí la energía total (con$h\equiv y$)

PS

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Por la ecuación de Euler-Lagrange,

PS

es decir

PS

PS

$$\rho g\int y\sqrt{1+y'^2}dx.$ $$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'},$ $$$\sqrt{1+y'^2}=\frac{d}{dx}\frac{yy'}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{y'^2+yy''}{\sqrt{1+y'^2}}-\frac{yy'^2y''}{(1+y'^2)^{3/2}},$ $$$(1+y'^2)^2=(y'^2+yy'')(1+y'^2)-yy'^2y'',$ $$$1+y'^2-yy''=0,$ $ y finalmente

PS

Answer 2

Más o menos ya lo respondiste: necesitas entender cómo se traduce mgh. Entonces, \ rho = m y y = h, y la g ya está en la Fórmula. Work = Force * segement and the Energy es una versión integrada de esto.

Para obtener el minimizador puede probar las ecuaciones de Euler-Lagrange.