Órdenes, grupos y grupos cíclicos.

Question

Deje $a$ $b$ estar en un grupo. Si $|a|=10$$|b|=21$, mostrar $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{e\}$

Mi intento áspera es la siguiente.

Observe que $|a|=10$ $|b|=21$ son relativamente primos. Deje $a,b\in G$ orden $n$. Vamos $x \in \langle a \rangle$ . $|a|=10$, entonces obtendremos $x^{10}=e$. Recuerdan $a^k=e \rightarrow |a|$ divide $k$. Del Mismo Modo, Vamos A $y \in \langle b \rangle$ . $|b|=21$, entonces obtendremos $y^{21}=e$. Ahora vamos a $A$ ser el conjunto de todos los factores de 10; deje $B$ ser el conjunto de todos los factores de 21. Deje $g \in \langle a \rangle \cap \langle b \rangle$. Desde el 10 y el 21 son relativamente primos, a continuación,$\langle a \rangle \cap \langle b \rangle =\{1\}$. De ello se desprende que $g=1=e$. Así completar la prueba.

Es esto suficiente? Me siento como que me falta algo crucial.

Quiero agradecerles por tomarse el tiempo de leer esta pregunta. Agradezco enormemente cualquier ayuda que proporcionan

Answer 1

$\langle a \rangle \cap \langle b \rangle$ es un subgrupo de$\langle a \rangle$ y de$\langle b \rangle$. Por Lagrange, el orden de$\langle a \rangle \cap \langle b\rangle $ divide$10$ y$21$.

Answer 2

Dejar $x \in \langle a \rangle \cap \langle b \rangle$. Entonces $e=x^{21}=(x^{10})^2\cdot x=e \cdot x = x$.

Aquí hemos usado ese$x^{21}=e$ porque$x \in \langle b \rangle$ y ese$x^{10}=e$ porque$x \in \langle a \rangle$.

El mismo argumento funciona en general:

Si$A$ y$B$ son subgrupos de$G$ y tienen un orden de coprime, su intersección es trivial.

De hecho, vamos a$x \in A \cap B$. Deje$m=|A|$ y$n=|B|$. Escribir $1=rm+sn$. Entonces $x=x^1=x^{rm+sn}=(x^m)^r \cdot (x^n)^s=e \cdot e = e$.