En la resolución de $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}}=\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+x}}}}$

Question

¿Cómo podemos demostrar que no es sólo una solución,$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}}=\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+x}}}}$$

Supongo que sólo es $x=2$. Por favor, ayudar.

Answer 1

Deje $\;f(x) = \sqrt{2+x}\;$$\;g(x) = \sqrt[3]{6+x}$, son estrictamente creciente de la función en $x$ al $x \ge -2$. Desde $(x+2)^3 - (x+6)^2 = (x-2)(x^2 + 7x + 14)$ $x^2 + 7x + 14 > 0$ todos los $x$, tenemos $$\begin{cases} f(x) > g(x) > 2,& x > 2\\f(x) = g(x) = 2,& x = 2\\f(x) < g(x) < 2, & x <2\end{cases}$$ Así que para cualquier $x > 2$, tenemos $$\begin{align} & f(x) > g(x) > 2\\ \implies & f(f(x)) > f(g(x)) > g(g(x)) > 2\\ \implies & f(f(f(x))) > f(g(g(x)) > g(g(g(x)) > 2\\ \implies & f(f(f(f(x))) > f(g(g(g(x))) > g(g(g(g(x)))) > 2\\ \implies & f(f(f(f(x))) \ne g(g(g(g(x)))) \end{align}$$ Por favor, tenga en cuenta que en anteriores deducciones, estamos usando el siguiente razonamiento repetidamente. $$\underbrace{g\circ\cdots\circ g(x)}_{k \text {}} > 2 \implica f(\underbrace{g\circ\cdots\circ g(x)}_{k \text {}}) > \underbrace{g\circ\cdots\circ g(x)}_{k+1 \text {}} > 2.$$

Una lógica Similar se muestra que el$f(f(f(f(x)))) \ne g(g(g(g(x))))$$x < 2$. Como resultado, $x = 2$ es la única solución para la ecuación de $f(f(f(f(x)))) = g(g(g(g(x))))$.

Answer 2

Una prueba por inducción. Vamos a: $$f_n(x) = \sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\ldots+\sqrt[3]{6+x}}},\ g_n(x) = \sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+x}}}$$ Con $n$ términos. A continuación, para $n=1$ usted puede fácilmente resolver la ecuación cúbica para mostrar que $f_1=g_1 $ $x=2$ (sobre los reales).

Supongamos ahora que nuestra afirmación es verdadera para $n$, es decir, que $f_n(x)=g_n(x)$ fib para $x=2$. A continuación, para $n+1$, subir a la sexta potencia para conseguir que: $$(6+f_n(x))^2=(2+g_n(x))^3$$ Claramente, esta igualdad es verdadera para $x=2$ desde $f_n(2)=g_n(2)$. Ahora, si nuestra afirmación es falsa y la igualdad se cumple para algunos $x_0\neq 2$, entonces: $$g_n(x_0) = (6+f_n(x_0))^{2/3}-2$$ Pero desde $dg_n/df_n < 1$ todos los $x>0$, por el valor medio teorema tenemos una contradicción. $$$$ Por lo tanto hemos probado que para cualquier número de $n$ el único (real) de la solución de $f_n(x)=g_n(x)$$x=2$.

Answer 3

Sugerencia: elevar ambos lados a la sexta potencia.