¿Teorema de Galois para los ideales?

Question

Deje $R$ ser un integralmente cerrado integral de dominio con fracción de campo $K$. Deje $L$ ser un finita de Galois de la extensión de $K$ y deje $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ ser los elementos de $Gal(L/K)$. Deje $S$ $R$'s integral de cierre en la $L$ y deje $\mathfrak{a}$ a ser un ideal de a $S$. Considere la siguiente instrucción:

El producto ideal $\sigma_1(\mathfrak{a})\dots\sigma_n(\mathfrak{a})$ se genera sobre $S$ por su intersección con la a $R$.

Cómo general es esta afirmación? ¿Siempre? Es siempre $R,S$ son dominios de Dedekind? Hay un contraejemplo, incluso cuando están Dedekind? ¿De que depende el grupo de Galois?

Si $R,S$ son dominios de Dedekind, y si $L/K$ es cuadrática o biquadratic (es decir, si $Gal(L/K)$ es $\mathbb{Z}/2$ o el Klein 4-grupo), entonces tengo más bien espantoso, computación pesado pruebas de la anterior afirmación. Sin embargo, se siente como algo mucho más general que está pasando, y me pregunto si se me ha pasado por alto un limpiador mucho argumento.

Answer 1

Creo que la pregunta no es cierto en general.

Supongamos $S$ es un dominio de Dedekind. Esta condición se satisface si $R$ es un dominio de Dedekind.

Deje $S[X_1, ..., X_m]$ ser el polinomio anillo de más de $S$. Deje $F ∈ S[X_1, ..., X_m]$. Denotamos por a $I(F)$ el ideal de la $S$ generado por todos los coeficientes de $F$. Dado $F, G ∈ S[X_1, ..., X_m]$, puede ser demostrado por una simple argumento de que vuelve a Gauss que $I(FG)$ = $I(F)I(G)$(por ejemplo, véase teorema de 13 de Hilbert "La teoría algebraica de números de los campos"). Tenga en cuenta que la prueba se utiliza esencialmente $S$ es un dominio de Dedekind.

Deje $\mathfrak{a}$ a ser un ideal de a $S$. Desde $S$ es un dominio de Dedekind, $\mathfrak{a}$ es finitely generado. Supongamos $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ genera $\mathfrak{a}$. Deje $F = \alpha_1X_1 + \cdots + \alpha_rX_r \in S[X_1,\dots,X_r]$. Para $\sigma \in Gal(L/K)$, escribimos $\sigma(F) = \sigma(\alpha_1)X_1 + \cdots + \sigma(\alpha_r)X_r$.Claramente $\sigma_1(F)\cdots\sigma_n(F) \in R[X_1,\dots,X_r]$. Deje $\mathfrak{b}$ a ser el ideal de $R$ generado por los coeficientes de $\sigma_1(F)\cdots\sigma_n(F)$.

A continuación,$\sigma_1(\mathfrak{a})\cdots\sigma_n(\mathfrak{a}) = I(\sigma_1(F))\cdots I(\sigma_n(F)) = I(\sigma_1(F)\cdots\sigma_n(F)) = \mathfrak{b}S$. Por lo tanto $\sigma_1(\mathfrak{a})\cdots\sigma_n(\mathfrak{a}) = (\sigma_1(\mathfrak{a})\cdots\sigma_n(\mathfrak{a}) \cap R)S$.