El exponencial complejo tiene $1$ como constante de Lipschitz.

Question

(En lo que sigue, constante de Lipschitz no significa "mejor constante de Lipschitz").

Acabo de leer esto en un libro que aprecio mucho:

Además, por el teorema del valor medio, $u\to e^{iu}$ es continua de Lipschitz con la constante de Lipschitz $1$ .

¿Cómo deduce el autor esto del teorema del valor medio? El teorema sólo se aplica a las funciones de valor real.

El teorema del valor medio muestra, sin embargo, que $\sin$ y $\cos$ tienen la constante de Lipschitz $1$ y por lo tanto $u\to e^{iu}$ tiene la constante de Lipschitz $2$ .

¿Cómo se puede rebajar esto a $1$ ?

Answer 1

Dejemos que $a \le b$ .

$$|e^{ib} - e^{ia}| = \left|\int_a^b ie^{it}\,dt\right|\le \int_a^b |ie^{it}|\,dt = b -a.$$