Demuestre que$\sqrt[3] {3n^2+3n+1} \notin \mathbb{N^+}$ dado que$n \in \mathbb{N^+}$

Question

Necesito demostrar que, asumiendo $n \in \mathbb{N^+}$

$$\sqrt[3] {3n^2+3n+1} \notin \mathbb{N^+}$$

Realmente estoy atascado con este problema, porque hasta ahora no he conseguido una forma inteligente de resolver.

También, creo que en realidad no ayuda el hecho de que $3n^2+3n+1 = (n+1)^3-n^3$, también porque, por ejemplo, tanto en $\sqrt {2n+1}$ $\sqrt[3] {2n+1}$ $\mathbb{N^+}$ para ciertos valores de $n$.

De todos modos estoy seguro de que la relación que escribí es cierto: en primer lugar, porque es una consecuencia de algunos demostraron teoremas; en segundo lugar, porque traté de algunos miles de millones de valor de $n$ con el equipo, sin resultados.

Quien me puede ilustrar con algunos tremendo intuiciones? :)

Answer 1

Prueba:

Supongamos que no, luego supongamos que$\sqrt[3]{3n^2 + 3n + 1} = k$ para algún entero positivo$k$. Entonces, $k^3 = 3n^2 + 3n + 1$. Asi que, $k^3 = (n + 1)^3 - n^3$. Pero esto implica$k^3 + n^3 = (n + 1)^3$, lo que contradice el último teorema de Fermat. QED