Funciones de anidación para entender series de anidación.

Question

Así que estoy trabajando en un problema que involucra una expresión que tiene un "anidada" notación sigma. Tal vez "anidada" no sea la palabra correcta, porque se empieza con una entrada (de su elección) y a la salida se convierte en la entrada para la siguiente iteración. Así es como una secuencia recursiva.

Estoy casi segura de que esto ha sido estudiado antes. No porque me haya oído hablar de él, sino porque es demasiado simple de una idea que no ha sido estudiado antes. (Puedo estar equivocado.)

Si, en lugar de una serie, hemos tenido una función, esta función de "anidada" 3 veces vería $f(f(f(x)))$. Estoy buscando a generalizar a cualquier tipo de función anidada cualquier número de veces.

Para dar un simple ejemplo de lo que quiero decir: si tenemos $f(x)=ax+b$,, $f(x)$ "anidada" $N$ veces con valor inicial $X$ puede ser generalizado como $$Xa^N+b((1-a^N)/(1-a))$$ Si alguien puede proporcionar con generalizaciones (o enlaces a generalizaciones) para trigonométricas, exponenciales, cuadrática, polinomial, etc. funciones, como el que me han proporcionado, por lo que sería de más ayuda. Gracias.

EDIT: Además, si estos tipos de generalizaciones que se han hecho para la serie (en notación sigma sería aún mejor) que acaba de ser, como usted dice, es "la guinda del pastel". :) Gracias.

Answer 1

Que tipo de problema es estudiado en la disciplina conocida como Sistemas Dinámicos Discretos. Dado un conjunto $X$ (generalmente un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$, un colector,...) y una función de $f\colon X\to X$, $n$- ésima iteración de $f$ se define como la composición de $f$ sí $n$ a veces, y se representa como $$ f^n(x)=f(f(\dots f(x)\dots))=f\circ f\circ\dots\circ f(x). $$ El objetivo principal es el estudio del comportamiento de la (ida) de las órbitas de los puntos de $x\in X$, que se define como la secuencia de $\{f^n(x)\}_{n=0}^\infty$. Sólo en casos especiales como su ejemplo, $f(x)=ax+b$ es posible obtener una forma cerrada para $f^n(x)$.

Hay muchos libros sobre Discretos Sistemas Dinámicos. Recomiendo Un Primer Curso en Sistemas Dinámicos Caóticos y Una Introducción a los Sistemas Dinámicos Caóticos, tanto por Bob Devaney.