Polinomio con al menos una raíz entre 0 y 1

Question

$p(x)=a_0+a_1x+...a_nx^n$ con $$a_0+\frac{a_1}2+ \cdots +\frac{a_n}{n+1}=0$$ Heurísticamente, me parece que esto debería tener al menos una raíz entre 0 y 1, porque al menos uno de los coeficientes tendrá un signo diferente al de los otros haciendo que la gráfica de la función tenga un pliegue. pero no estoy muy seguro de por dónde empezar.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\int_0^1 (a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots a_nx^n)\,dx= \frac{a_0}{1} + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} +\cdots + \frac{a_n}{n+1}=\color{red}0$$

Esta integral se desvanece, significa que la función estaba a veces por encima de la $x$ -eje, y a veces por debajo. Como esta función es continua, debe cortar $x$ -eje al menos una vez, es decir, debe tener al menos una solución real.

Answer 2

Otra aproximación, aplicar el Teorema de Rolle al siguiente polinomio : $$f(x)=a_0x+a_1\frac{x^2}2+a_2\frac{x^3}3+\cdots+a_n \frac{x^{n+1}}{n+1}$$

Entre el intervalo $(0,1)$ .