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Encontrar todos los $n$ de manera tal que cada número contiene $n$ $1$'y una de $3$ es el prime

Esta pregunta es O205 de la Matemática Reflexiones. No poseo los derechos de autor a esta pregunta.

Encontrar todos los $n$ de manera tal que cada número contiene $n$ $1$'y una de $3$ es primo.

Por ejemplo, cuando se $n=2$ nos encontramos con que $113, 131$ $311$ son primos.

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Zander Puntos 8843

Cualquier $n$ da $(n+1)$dígitos "permutable" o "absoluta" prime. Claramente $n=0,1,2$ el trabajo, y se cree que no hay absolutos de los números primos distintos de repunits de más de 991.

Como se indicó por @Sp3000, si 10 es una raíz primitiva mod de un primer $p$ si $n>p$ $p-1$ debe dividir $n+1$. De acuerdo a este documento por Slinko, considerando todos los números primos hasta el $10^5$ Richert vino para arriba con un límite inferior en el número de dígitos $>6\times 10^{175}$. El documento detalla que las formas de los números no puede ser permutable de los números primos, pero en particular múltiples 1s y solo un 3 es una de las pocas formas que permanece como una posibilidad, lo que implica que este caso sigue abierto.

Relacionados, en este artículo se atribuye el problema con varios 1s y uno de 7 a Slinko y notas como se considera por la OMI. Que versión es resuelto por el Teorema 3 en el documento que he citado anteriormente.

2voto

Shar1z Puntos 148

$1...31 \ - \ 1...13=18\\ 1...311 \ - \ 1...131=180\\ 1...3111 \ - \ 1...1311=1800$

Si $1...113\equiv x \mod 17$$1...131\equiv x+18 \mod 17\equiv x+1 \mod17$$1...311\equiv x+18+180 \mod 17\equiv x+11 \mod17$.

Los 50 primeros términos de esta secuencia contiene todos los posibles residuos de$\mod 17$ por lo tanto, si ninguna de las permutaciones es un múltiplo de a$17$$n\leq 50$. He comprobado todos los $n$ $50$ y la única solución que he encontrado se $0,1,2$.

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