Adjuntando un espacio topológico a otro.

Question

Soy auto-estudio de Mendelson Introducción a la Topología. Hay un ejemplo en la identificación de la topología de la sección que no entiendo:

Deje $X$ $Y$ ser espacios topológicos y deje $A$ ser un no-vacío cerrado subconjunto de $X$. Suponga que $X$ $Y$ son distintos y que una función continua $f : A \to Y$ es dado. Forman el conjunto $(X - A) \cup Y$ y definir una función $\varphi: X \cup Y \to (X - A) \cup Y$ $\varphi(x) = f(x)$ $x \in A$, $\varphi(x) = x$ para $x \in X - A$, e $\varphi(y) = y$$y \in Y$. Dar $X \cup Y$ la topología en la que un conjunto es abierto (o cerrado) si y sólo si sus intersecciones con $X$ $Y$ están abiertos (o cerrados). $\varphi$ es sobre. Deje $X \cup_f Y$ el conjunto $(X - A) \cup Y$ con la identificación de la topología definida por $\varphi$.

Deje $I^2$ ser la unidad de plaza en $\mathbb{R}^2$ y deje $A$ ser la unión de sus dos bordes verticales. Deje $Y = [0, 1]$ ser la unidad de intervalo. Definir $f : I^2 \to Y$$f(x, y) = y$. A continuación, $I^2 \cup_f Y$ es un cilindro formado por la identificación de los dos bordes verticales de $I^2$.

No entiendo cómo la $I^2 \cup_f Y$ puede ser un cilindro. El conjunto es igual a $(I^2 - A) \cup Y$. Que es una unión de un subconjunto de a$\mathbb{R}^2$$[0, 1]$. ¿Cómo puede ser esto un cilindro?

El libro tiene un ejercicio que construye un toro en una manera similar. Espero que voy a ser capaz de resolver de una vez que yo entiendo de este ejemplo.

Miré algunos ejemplos en línea. Aunque yo entiendo que las definiciones y los teoremas de la identificación de las topologías, no tengo ni idea de cómo los objetos geométricos son construidos.

Answer 1

Creo que es bueno que se haga esta pregunta, más uno. Su intuición se llega a producir, no te preocupes. Yo tenía problemas para entender la identificación de las topologías demasiado cuando vi primero. Sólo se necesita un poco de tiempo para acostumbrarse, no te preocupes. La manera en que pienso acerca de eso, es como sigue:

Tiene dos espacios de $X,Y$, y usted sabe cómo desea "pegamento" juntos, es decir, todos los puntos en $A \subset X$ y pegarlos en $Y$. El mapa de $f$ dice que donde en $Y$ que se peguen. En las fotos se ve algo como esto:

En el ejemplo, esto se parece a esto:

Answer 2

Sí, así que esta es una de esas cosas que en mi humilde opinión, la intuición (dado de manera excelente por us2012) es la forma más importante que los detalles.

Para los detalles, fijar el cilindro como $[0,1] \times S^1$, con coordenadas $(h, \theta), \theta \in [0, 2\pi)$ (a qué altura sobre el cilindro son y donde están en el círculo en el que la altura).

Para facilitar la notación, describir los puntos en $I^2 \cup_f A$ sólo $(x,y) \in I^2$, modulo $(0,y) \sim (1, y)$.

Entonces tenemos (inversa, continuo) mapas de $I^2 \cup_f A \rightarrow [0,1] \times S^1$$(x,y) \mapsto (x, 2\pi y)$, e $[0,1] \times S^1 \rightarrow I^2 \cup_f A$$(h, \theta) \mapsto (h, \frac{\theta}{2\pi})$.

Voy a dejar de comprobar estos son inversas y continuo, como un ejercicio.